MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgr3v Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem frgr3v 27139
Description: Any graph with three vertices which are completely connected with each other is a friendship graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2017.) (Revised by AV, 29-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
frgr3v.v |- V = (Vtx ` G )
frgr3v.e |- E = (Edg ` G )
Assertion
Ref Expression
frgr3v |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( G e. FriendGraph <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) ) )
Proof of Theorem frgr3v
Dummy variables k l x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgr3v.v . . . . . 6 |- V = (Vtx ` G )
2 frgr3v.e . . . . . 6 |- E = (Edg ` G )
31, 2frgrusgrfrcond 27123 . . . . 5 |- ( G e. FriendGraph <-> ( G e. USGraph /\ A. k e. V A. l e. ( V \ { k } ) E! x e. V { { x , k } , { x , l } } C_ E ) )
43a1i 11 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( G e. FriendGraph <-> ( G e. USGraph /\ A. k e. V A. l e. ( V \ { k } ) E! x e. V { { x , k } , { x , l } } C_ E ) ) )
5 id 22 . . . . . . . 8 |- ( V = { A , B , C } -> V = { A , B , C } )
6 difeq1 3721 . . . . . . . . 9 |- ( V = { A , B , C } -> ( V \ { k } ) = ( { A , B , C } \ { k } ) )
7 reueq1 3140 . . . . . . . . 9 |- ( V = { A , B , C } -> ( E! x e. V { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E ) )
86, 7raleqbidv 3152 . . . . . . . 8 |- ( V = { A , B , C } -> ( A. l e. ( V \ { k } ) E! x e. V { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E ) )
95, 8raleqbidv 3152 . . . . . . 7 |- ( V = { A , B , C } -> ( A. k e. V A. l e. ( V \ { k } ) E! x e. V { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> A. k e. { A , B , C } A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E ) )
109anbi2d 740 . . . . . 6 |- ( V = { A , B , C } -> ( ( G e. USGraph /\ A. k e. V A. l e. ( V \ { k } ) E! x e. V { { x , k } , { x , l } } C_ E ) <-> ( G e. USGraph /\ A. k e. { A , B , C } A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E ) ) )
1110baibd 948 . . . . 5 |- ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( ( G e. USGraph /\ A. k e. V A. l e. ( V \ { k } ) E! x e. V { { x , k } , { x , l } } C_ E ) <-> A. k e. { A , B , C } A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E ) )
1211adantl 482 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( G e. USGraph /\ A. k e. V A. l e. ( V \ { k } ) E! x e. V { { x , k } , { x , l } } C_ E ) <-> A. k e. { A , B , C } A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E ) )
134, 12bitrd 268 . . 3 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( G e. FriendGraph <-> A. k e. { A , B , C } A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E ) )
14 sneq 4187 . . . . . . . 8 |- ( k = A -> { k } = { A } )
1514difeq2d 3728 . . . . . . 7 |- ( k = A -> ( { A , B , C } \ { k } ) = ( { A , B , C } \ { A } ) )
16 preq2 4269 . . . . . . . . . 10 |- ( k = A -> { x , k } = { x , A } )
1716preq1d 4274 . . . . . . . . 9 |- ( k = A -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , A } , { x , l } } )
1817sseq1d 3632 . . . . . . . 8 |- ( k = A -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> { { x , A } , { x , l } } C_ E ) )
1918reubidv 3126 . . . . . . 7 |- ( k = A -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E ) )
2015, 19raleqbidv 3152 . . . . . 6 |- ( k = A -> ( A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> A. l e. ( { A , B , C } \ { A } ) E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E ) )
21 sneq 4187 . . . . . . . 8 |- ( k = B -> { k } = { B } )
2221difeq2d 3728 . . . . . . 7 |- ( k = B -> ( { A , B , C } \ { k } ) = ( { A , B , C } \ { B } ) )
23 preq2 4269 . . . . . . . . . 10 |- ( k = B -> { x , k } = { x , B } )
2423preq1d 4274 . . . . . . . . 9 |- ( k = B -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , B } , { x , l } } )
2524sseq1d 3632 . . . . . . . 8 |- ( k = B -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> { { x , B } , { x , l } } C_ E ) )
2625reubidv 3126 . . . . . . 7 |- ( k = B -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E ) )
2722, 26raleqbidv 3152 . . . . . 6 |- ( k = B -> ( A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> A. l e. ( { A , B , C } \ { B } ) E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E ) )
28 sneq 4187 . . . . . . . 8 |- ( k = C -> { k } = { C } )
2928difeq2d 3728 . . . . . . 7 |- ( k = C -> ( { A , B , C } \ { k } ) = ( { A , B , C } \ { C } ) )
30 preq2 4269 . . . . . . . . . 10 |- ( k = C -> { x , k } = { x , C } )
3130preq1d 4274 . . . . . . . . 9 |- ( k = C -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , C } , { x , l } } )
3231sseq1d 3632 . . . . . . . 8 |- ( k = C -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> { { x , C } , { x , l } } C_ E ) )
3332reubidv 3126 . . . . . . 7 |- ( k = C -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) )
3429, 33raleqbidv 3152 . . . . . 6 |- ( k = C -> ( A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> A. l e. ( { A , B , C } \ { C } ) E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) )
3520, 27, 34raltpg 4236 . . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) -> ( A. k e. { A , B , C } A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> ( A. l e. ( { A , B , C } \ { A } ) E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. ( { A , B , C } \ { B } ) E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. ( { A , B , C } \ { C } ) E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) ) )
3635ad2antrr 762 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( A. k e. { A , B , C } A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> ( A. l e. ( { A , B , C } \ { A } ) E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. ( { A , B , C } \ { B } ) E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. ( { A , B , C } \ { C } ) E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) ) )
37 tprot 4284 . . . . . . . . . 10 |- { A , B , C } = { B , C , A }
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> { A , B , C } = { B , C , A } )
3938difeq1d 3727 . . . . . . . 8 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { A , B , C } \ { A } ) = ( { B , C , A } \ { A } ) )
40 necom 2847 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
4140biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= B -> B =/= A )
42 necom 2847 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= C <-> C =/= A )
4342biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= C -> C =/= A )
4441, 43anim12i 590 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C ) -> ( B =/= A /\ C =/= A ) )
45443adant3 1081 . . . . . . . . 9 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( B =/= A /\ C =/= A ) )
46 diftpsn3 4332 . . . . . . . . 9 |- ( ( B =/= A /\ C =/= A ) -> ( { B , C , A } \ { A } ) = { B , C } )
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { B , C , A } \ { A } ) = { B , C } )
4839, 47eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { A , B , C } \ { A } ) = { B , C } )
4948raleqdv 3144 . . . . . 6 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( A. l e. ( { A , B , C } \ { A } ) E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E <-> A. l e. { B , C } E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E ) )
50 tprot 4284 . . . . . . . . . . 11 |- { C , A , B } = { A , B , C }
5150eqcomi 2631 . . . . . . . . . 10 |- { A , B , C } = { C , A , B }
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> { A , B , C } = { C , A , B } )
5352difeq1d 3727 . . . . . . . 8 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { A , B , C } \ { B } ) = ( { C , A , B } \ { B } ) )
54 id 22 . . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= B -> A =/= B )
55 necom 2847 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B =/= C <-> C =/= B )
5655biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 |- ( B =/= C -> C =/= B )
5754, 56anim12ci 591 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A =/= B /\ B =/= C ) -> ( C =/= B /\ A =/= B ) )
58573adant2 1080 . . . . . . . . 9 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( C =/= B /\ A =/= B ) )
59 diftpsn3 4332 . . . . . . . . 9 |- ( ( C =/= B /\ A =/= B ) -> ( { C , A , B } \ { B } ) = { C , A } )
6058, 59syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { C , A , B } \ { B } ) = { C , A } )
6153, 60eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { A , B , C } \ { B } ) = { C , A } )
6261raleqdv 3144 . . . . . 6 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( A. l e. ( { A , B , C } \ { B } ) E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E <-> A. l e. { C , A } E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E ) )
63 diftpsn3 4332 . . . . . . . 8 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { A , B , C } \ { C } ) = { A , B } )
64633adant1 1079 . . . . . . 7 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { A , B , C } \ { C } ) = { A , B } )
6564raleqdv 3144 . . . . . 6 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( A. l e. ( { A , B , C } \ { C } ) E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E <-> A. l e. { A , B } E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) )
6649, 62, 653anbi123d 1399 . . . . 5 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( ( A. l e. ( { A , B , C } \ { A } ) E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. ( { A , B , C } \ { B } ) E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. ( { A , B , C } \ { C } ) E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) <-> ( A. l e. { B , C } E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. { C , A } E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. { A , B } E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) ) )
6766ad2antlr 763 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( A. l e. ( { A , B , C } \ { A } ) E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. ( { A , B , C } \ { B } ) E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. ( { A , B , C } \ { C } ) E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) <-> ( A. l e. { B , C } E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. { C , A } E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. { A , B } E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) ) )
68 preq2 4269 . . . . . . . . . . 11 |- ( l = B -> { x , l } = { x , B } )
6968preq2d 4275 . . . . . . . . . 10 |- ( l = B -> { { x , A } , { x , l } } = { { x , A } , { x , B } } )
7069sseq1d 3632 . . . . . . . . 9 |- ( l = B -> ( { { x , A } , { x , l } } C_ E <-> { { x , A } , { x , B } } C_ E ) )
7170reubidv 3126 . . . . . . . 8 |- ( l = B -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E ) )
72 preq2 4269 . . . . . . . . . . 11 |- ( l = C -> { x , l } = { x , C } )
7372preq2d 4275 . . . . . . . . . 10 |- ( l = C -> { { x , A } , { x , l } } = { { x , A } , { x , C } } )
7473sseq1d 3632 . . . . . . . . 9 |- ( l = C -> ( { { x , A } , { x , l } } C_ E <-> { { x , A } , { x , C } } C_ E ) )
7574reubidv 3126 . . . . . . . 8 |- ( l = C -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) )
7671, 75ralprg 4234 . . . . . . 7 |- ( ( B e. Y /\ C e. Z ) -> ( A. l e. { B , C } E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E <-> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) ) )
77763adant1 1079 . . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) -> ( A. l e. { B , C } E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E <-> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) ) )
7872preq2d 4275 . . . . . . . . . . 11 |- ( l = C -> { { x , B } , { x , l } } = { { x , B } , { x , C } } )
7978sseq1d 3632 . . . . . . . . . 10 |- ( l = C -> ( { { x , B } , { x , l } } C_ E <-> { { x , B } , { x , C } } C_ E ) )
8079reubidv 3126 . . . . . . . . 9 |- ( l = C -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E ) )
81 preq2 4269 . . . . . . . . . . . 12 |- ( l = A -> { x , l } = { x , A } )
8281preq2d 4275 . . . . . . . . . . 11 |- ( l = A -> { { x , B } , { x , l } } = { { x , B } , { x , A } } )
8382sseq1d 3632 . . . . . . . . . 10 |- ( l = A -> ( { { x , B } , { x , l } } C_ E <-> { { x , B } , { x , A } } C_ E ) )
8483reubidv 3126 . . . . . . . . 9 |- ( l = A -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) )
8580, 84ralprg 4234 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. Z /\ A e. X ) -> ( A. l e. { C , A } E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E <-> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) ) )
8685ancoms 469 . . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ C e. Z ) -> ( A. l e. { C , A } E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E <-> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) ) )
87863adant2 1080 . . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) -> ( A. l e. { C , A } E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E <-> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) ) )
8881preq2d 4275 . . . . . . . . . 10 |- ( l = A -> { { x , C } , { x , l } } = { { x , C } , { x , A } } )
8988sseq1d 3632 . . . . . . . . 9 |- ( l = A -> ( { { x , C } , { x , l } } C_ E <-> { { x , C } , { x , A } } C_ E ) )
9089reubidv 3126 . . . . . . . 8 |- ( l = A -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E ) )
9168preq2d 4275 . . . . . . . . . 10 |- ( l = B -> { { x , C } , { x , l } } = { { x , C } , { x , B } } )
9291sseq1d 3632 . . . . . . . . 9 |- ( l = B -> ( { { x , C } , { x , l } } C_ E <-> { { x , C } , { x , B } } C_ E ) )
9392reubidv 3126 . . . . . . . 8 |- ( l = B -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E <-> E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) )
9490, 93ralprg 4234 . . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( A. l e. { A , B } E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E <-> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) ) )
95943adant3 1081 . . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) -> ( A. l e. { A , B } E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E <-> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) ) )
9677, 87, 953anbi123d 1399 . . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) -> ( ( A. l e. { B , C } E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. { C , A } E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. { A , B } E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) <-> ( ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) ) ) )
9796ad2antrr 762 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( A. l e. { B , C } E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. { C , A } E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , l } } C_ E /\ A. l e. { A , B } E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , l } } C_ E ) <-> ( ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) ) ) )
9836, 67, 973bitrd 294 . . 3 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( A. k e. { A , B , C } A. l e. ( { A , B , C } \ { k } ) E! x e. { A , B , C } { { x , k } , { x , l } } C_ E <-> ( ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) ) ) )
991, 2frgr3vlem2 27138 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E <-> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) ) )
10099imp 445 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E <-> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
101 simpll1 1100 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> A e. X )
102 simpll3 1102 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> C e. Z )
103 simpll2 1101 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> B e. Y )
104101, 102, 1033jca 1242 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( A e. X /\ C e. Z /\ B e. Y ) )
105 simplr2 1104 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> A =/= C )
106 simplr1 1103 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> A =/= B )
10758simpld 475 . . . . . . . . 9 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> C =/= B )
108107ad2antlr 763 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> C =/= B )
109105, 106, 1083jca 1242 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( A =/= C /\ A =/= B /\ C =/= B ) )
110 tpcomb 4286 . . . . . . . . . 10 |- { A , B , C } = { A , C , B }
1115, 110syl6eq 2672 . . . . . . . . 9 |- ( V = { A , B , C } -> V = { A , C , B } )
112111anim1i 592 . . . . . . . 8 |- ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( V = { A , C , B } /\ G e. USGraph ) )
113112adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( V = { A , C , B } /\ G e. USGraph ) )
114 reueq1 3140 . . . . . . . . 9 |- ( { A , B , C } = { A , C , B } -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E <-> E! x e. { A , C , B } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) )
115110, 114mp1i 13 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ C e. Z /\ B e. Y ) /\ ( A =/= C /\ A =/= B /\ C =/= B ) ) /\ ( V = { A , C , B } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E <-> E! x e. { A , C , B } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) )
1161, 2frgr3vlem2 27138 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. X /\ C e. Z /\ B e. Y ) /\ ( A =/= C /\ A =/= B /\ C =/= B ) ) -> ( ( V = { A , C , B } /\ G e. USGraph ) -> ( E! x e. { A , C , B } { { x , A } , { x , C } } C_ E <-> ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) ) )
117116imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ C e. Z /\ B e. Y ) /\ ( A =/= C /\ A =/= B /\ C =/= B ) ) /\ ( V = { A , C , B } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , C , B } { { x , A } , { x , C } } C_ E <-> ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) )
118115, 117bitrd 268 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ C e. Z /\ B e. Y ) /\ ( A =/= C /\ A =/= B /\ C =/= B ) ) /\ ( V = { A , C , B } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E <-> ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) )
119104, 109, 113, 118syl21anc 1325 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E <-> ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) )
120100, 119anbi12d 747 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) <-> ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) ) )
121103, 102, 1013jca 1242 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( B e. Y /\ C e. Z /\ A e. X ) )
122 simplr3 1105 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> B =/= C )
123106necomd 2849 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> B =/= A )
124105necomd 2849 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> C =/= A )
125122, 123, 1243jca 1242 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( B =/= C /\ B =/= A /\ C =/= A ) )
12637eqeq2i 2634 . . . . . . . . . 10 |- ( V = { A , B , C } <-> V = { B , C , A } )
127126biimpi 206 . . . . . . . . 9 |- ( V = { A , B , C } -> V = { B , C , A } )
128127anim1i 592 . . . . . . . 8 |- ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( V = { B , C , A } /\ G e. USGraph ) )
129128adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( V = { B , C , A } /\ G e. USGraph ) )
130 reueq1 3140 . . . . . . . . 9 |- ( { A , B , C } = { B , C , A } -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E <-> E! x e. { B , C , A } { { x , B } , { x , C } } C_ E ) )
13137, 130mp1i 13 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. Y /\ C e. Z /\ A e. X ) /\ ( B =/= C /\ B =/= A /\ C =/= A ) ) /\ ( V = { B , C , A } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E <-> E! x e. { B , C , A } { { x , B } , { x , C } } C_ E ) )
1321, 2frgr3vlem2 27138 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. Y /\ C e. Z /\ A e. X ) /\ ( B =/= C /\ B =/= A /\ C =/= A ) ) -> ( ( V = { B , C , A } /\ G e. USGraph ) -> ( E! x e. { B , C , A } { { x , B } , { x , C } } C_ E <-> ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) ) ) )
133132imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. Y /\ C e. Z /\ A e. X ) /\ ( B =/= C /\ B =/= A /\ C =/= A ) ) /\ ( V = { B , C , A } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { B , C , A } { { x , B } , { x , C } } C_ E <-> ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) ) )
134131, 133bitrd 268 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. Y /\ C e. Z /\ A e. X ) /\ ( B =/= C /\ B =/= A /\ C =/= A ) ) /\ ( V = { B , C , A } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E <-> ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) ) )
135121, 125, 129, 134syl21anc 1325 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E <-> ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) ) )
136103, 101, 1023jca 1242 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( B e. Y /\ A e. X /\ C e. Z ) )
137123, 122, 1053jca 1242 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( B =/= A /\ B =/= C /\ A =/= C ) )
138 tpcoma 4285 . . . . . . . . . . 11 |- { A , B , C } = { B , A , C }
139138eqeq2i 2634 . . . . . . . . . 10 |- ( V = { A , B , C } <-> V = { B , A , C } )
140139biimpi 206 . . . . . . . . 9 |- ( V = { A , B , C } -> V = { B , A , C } )
141140anim1i 592 . . . . . . . 8 |- ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( V = { B , A , C } /\ G e. USGraph ) )
142141adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( V = { B , A , C } /\ G e. USGraph ) )
143 reueq1 3140 . . . . . . . . 9 |- ( { A , B , C } = { B , A , C } -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E <-> E! x e. { B , A , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) )
144138, 143mp1i 13 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. Y /\ A e. X /\ C e. Z ) /\ ( B =/= A /\ B =/= C /\ A =/= C ) ) /\ ( V = { B , A , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E <-> E! x e. { B , A , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) )
1451, 2frgr3vlem2 27138 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. Y /\ A e. X /\ C e. Z ) /\ ( B =/= A /\ B =/= C /\ A =/= C ) ) -> ( ( V = { B , A , C } /\ G e. USGraph ) -> ( E! x e. { B , A , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E <-> ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) ) )
146145imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. Y /\ A e. X /\ C e. Z ) /\ ( B =/= A /\ B =/= C /\ A =/= C ) ) /\ ( V = { B , A , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { B , A , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E <-> ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) )
147144, 146bitrd 268 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. Y /\ A e. X /\ C e. Z ) /\ ( B =/= A /\ B =/= C /\ A =/= C ) ) /\ ( V = { B , A , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E <-> ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) )
148136, 137, 142, 147syl21anc 1325 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E <-> ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) )
149135, 148anbi12d 747 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) ) )
150102, 101, 1033jca 1242 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( C e. Z /\ A e. X /\ B e. Y ) )
151124, 108, 1063jca 1242 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( C =/= A /\ C =/= B /\ A =/= B ) )
15251eqeq2i 2634 . . . . . . . . . 10 |- ( V = { A , B , C } <-> V = { C , A , B } )
153152biimpi 206 . . . . . . . . 9 |- ( V = { A , B , C } -> V = { C , A , B } )
154153anim1i 592 . . . . . . . 8 |- ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( V = { C , A , B } /\ G e. USGraph ) )
155154adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( V = { C , A , B } /\ G e. USGraph ) )
156 reueq1 3140 . . . . . . . . 9 |- ( { A , B , C } = { C , A , B } -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E <-> E! x e. { C , A , B } { { x , C } , { x , A } } C_ E ) )
15751, 156mp1i 13 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. Z /\ A e. X /\ B e. Y ) /\ ( C =/= A /\ C =/= B /\ A =/= B ) ) /\ ( V = { C , A , B } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E <-> E! x e. { C , A , B } { { x , C } , { x , A } } C_ E ) )
1581, 2frgr3vlem2 27138 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. Z /\ A e. X /\ B e. Y ) /\ ( C =/= A /\ C =/= B /\ A =/= B ) ) -> ( ( V = { C , A , B } /\ G e. USGraph ) -> ( E! x e. { C , A , B } { { x , C } , { x , A } } C_ E <-> ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) ) ) )
159158imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. Z /\ A e. X /\ B e. Y ) /\ ( C =/= A /\ C =/= B /\ A =/= B ) ) /\ ( V = { C , A , B } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { C , A , B } { { x , C } , { x , A } } C_ E <-> ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) ) )
160157, 159bitrd 268 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. Z /\ A e. X /\ B e. Y ) /\ ( C =/= A /\ C =/= B /\ A =/= B ) ) /\ ( V = { C , A , B } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E <-> ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) ) )
161150, 151, 155, 160syl21anc 1325 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E <-> ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) ) )
162 3anrev 1049 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) <-> ( C e. Z /\ B e. Y /\ A e. X ) )
163162biimpi 206 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) -> ( C e. Z /\ B e. Y /\ A e. X ) )
16455, 42, 403anbi123i 1251 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B =/= C /\ A =/= C /\ A =/= B ) <-> ( C =/= B /\ C =/= A /\ B =/= A ) )
165164biimpi 206 . . . . . . . . 9 |- ( ( B =/= C /\ A =/= C /\ A =/= B ) -> ( C =/= B /\ C =/= A /\ B =/= A ) )
1661653com13 1270 . . . . . . . 8 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( C =/= B /\ C =/= A /\ B =/= A ) )
167163, 166anim12i 590 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( ( C e. Z /\ B e. Y /\ A e. X ) /\ ( C =/= B /\ C =/= A /\ B =/= A ) ) )
168 tpcoma 4285 . . . . . . . . . . 11 |- { B , C , A } = { C , B , A }
16937, 168eqtri 2644 . . . . . . . . . 10 |- { A , B , C } = { C , B , A }
170169eqeq2i 2634 . . . . . . . . 9 |- ( V = { A , B , C } <-> V = { C , B , A } )
171170biimpi 206 . . . . . . . 8 |- ( V = { A , B , C } -> V = { C , B , A } )
172171anim1i 592 . . . . . . 7 |- ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( V = { C , B , A } /\ G e. USGraph ) )
173 reueq1 3140 . . . . . . . . 9 |- ( { A , B , C } = { C , B , A } -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E <-> E! x e. { C , B , A } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) )
174169, 173mp1i 13 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. Z /\ B e. Y /\ A e. X ) /\ ( C =/= B /\ C =/= A /\ B =/= A ) ) /\ ( V = { C , B , A } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E <-> E! x e. { C , B , A } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) )
1751, 2frgr3vlem2 27138 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. Z /\ B e. Y /\ A e. X ) /\ ( C =/= B /\ C =/= A /\ B =/= A ) ) -> ( ( V = { C , B , A } /\ G e. USGraph ) -> ( E! x e. { C , B , A } { { x , C } , { x , B } } C_ E <-> ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) ) )
176175imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. Z /\ B e. Y /\ A e. X ) /\ ( C =/= B /\ C =/= A /\ B =/= A ) ) /\ ( V = { C , B , A } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { C , B , A } { { x , C } , { x , B } } C_ E <-> ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) )
177174, 176bitrd 268 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. Z /\ B e. Y /\ A e. X ) /\ ( C =/= B /\ C =/= A /\ B =/= A ) ) /\ ( V = { C , B , A } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E <-> ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) )
178167, 172, 177syl2an 494 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E <-> ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) )
179161, 178anbi12d 747 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) <-> ( ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) ) )
180120, 149, 1793anbi123d 1399 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) ) <-> ( ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) /\ ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) /\ ( ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) ) ) )
181 prcom 4267 . . . . . . . . . 10 |- { B , C } = { C , B }
182181eleq1i 2692 . . . . . . . . 9 |- ( { B , C } e. E <-> { C , B } e. E )
183182anbi2i 730 . . . . . . . 8 |- ( ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) <-> ( { B , A } e. E /\ { C , B } e. E ) )
184183anbi2i 730 . . . . . . 7 |- ( ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) <-> ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
185 anandir 872 . . . . . . 7 |- ( ( ( { C , A } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ { C , B } e. E ) <-> ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
186184, 185bitr4i 267 . . . . . 6 |- ( ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) <-> ( ( { C , A } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ { C , B } e. E ) )
187 prcom 4267 . . . . . . . . . 10 |- { C , A } = { A , C }
188187eleq1i 2692 . . . . . . . . 9 |- ( { C , A } e. E <-> { A , C } e. E )
189188anbi2i 730 . . . . . . . 8 |- ( ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) <-> ( { C , B } e. E /\ { A , C } e. E ) )
190189anbi2i 730 . . . . . . 7 |- ( ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { C , B } e. E /\ { A , C } e. E ) ) )
191 anandir 872 . . . . . . 7 |- ( ( ( { A , B } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ { A , C } e. E ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { C , B } e. E /\ { A , C } e. E ) ) )
192190, 191bitr4i 267 . . . . . 6 |- ( ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ { A , C } e. E ) )
193 prcom 4267 . . . . . . . . . 10 |- { A , B } = { B , A }
194193eleq1i 2692 . . . . . . . . 9 |- ( { A , B } e. E <-> { B , A } e. E )
195194anbi2i 730 . . . . . . . 8 |- ( ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) <-> ( { A , C } e. E /\ { B , A } e. E ) )
196195anbi2i 730 . . . . . . 7 |- ( ( ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) <-> ( ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { B , A } e. E ) ) )
197 anandir 872 . . . . . . 7 |- ( ( ( { B , C } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ { B , A } e. E ) <-> ( ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { B , A } e. E ) ) )
198196, 197bitr4i 267 . . . . . 6 |- ( ( ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) <-> ( ( { B , C } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ { B , A } e. E ) )
199186, 192, 1983anbi123i 1251 . . . . 5 |- ( ( ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) /\ ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) /\ ( ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) ) <-> ( ( ( { C , A } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ { C , B } e. E ) /\ ( ( { A , B } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ { A , C } e. E ) /\ ( ( { B , C } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ { B , A } e. E ) ) )
200 3anrot 1043 . . . . . . 7 |- ( ( { C , A } e. E /\ { B , A } e. E /\ { C , B } e. E ) <-> ( { B , A } e. E /\ { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) )
201 df-3an 1039 . . . . . . 7 |- ( ( { C , A } e. E /\ { B , A } e. E /\ { C , B } e. E ) <-> ( ( { C , A } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ { C , B } e. E ) )
202 prcom 4267 . . . . . . . . 9 |- { B , A } = { A , B }
203202eleq1i 2692 . . . . . . . 8 |- ( { B , A } e. E <-> { A , B } e. E )
204 prcom 4267 . . . . . . . . 9 |- { C , B } = { B , C }
205204eleq1i 2692 . . . . . . . 8 |- ( { C , B } e. E <-> { B , C } e. E )
206 biid 251 . . . . . . . 8 |- ( { C , A } e. E <-> { C , A } e. E )
207203, 205, 2063anbi123i 1251 . . . . . . 7 |- ( ( { B , A } e. E /\ { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) )
208200, 201, 2073bitr3i 290 . . . . . 6 |- ( ( ( { C , A } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ { C , B } e. E ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) )
209 df-3an 1039 . . . . . . 7 |- ( ( { A , B } e. E /\ { C , B } e. E /\ { A , C } e. E ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ { A , C } e. E ) )
210 biid 251 . . . . . . . 8 |- ( { A , B } e. E <-> { A , B } e. E )
211 prcom 4267 . . . . . . . . 9 |- { A , C } = { C , A }
212211eleq1i 2692 . . . . . . . 8 |- ( { A , C } e. E <-> { C , A } e. E )
213210, 205, 2123anbi123i 1251 . . . . . . 7 |- ( ( { A , B } e. E /\ { C , B } e. E /\ { A , C } e. E ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) )
214209, 213bitr3i 266 . . . . . 6 |- ( ( ( { A , B } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ { A , C } e. E ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) )
215 df-3an 1039 . . . . . . 7 |- ( ( { B , C } e. E /\ { A , C } e. E /\ { B , A } e. E ) <-> ( ( { B , C } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ { B , A } e. E ) )
216 3anrot 1043 . . . . . . . 8 |- ( ( { B , C } e. E /\ { A , C } e. E /\ { B , A } e. E ) <-> ( { A , C } e. E /\ { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) )
217 3anrot 1043 . . . . . . . 8 |- ( ( { A , C } e. E /\ { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) <-> ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E /\ { A , C } e. E ) )
218 biid 251 . . . . . . . . 9 |- ( { B , C } e. E <-> { B , C } e. E )
219203, 218, 2123anbi123i 1251 . . . . . . . 8 |- ( ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E /\ { A , C } e. E ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) )
220216, 217, 2193bitri 286 . . . . . . 7 |- ( ( { B , C } e. E /\ { A , C } e. E /\ { B , A } e. E ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) )
221215, 220bitr3i 266 . . . . . 6 |- ( ( ( { B , C } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ { B , A } e. E ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) )
222208, 214, 2213anbi123i 1251 . . . . 5 |- ( ( ( ( { C , A } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ { C , B } e. E ) /\ ( ( { A , B } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ { A , C } e. E ) /\ ( ( { B , C } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ { B , A } e. E ) ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) )
223 df-3an 1039 . . . . . 6 |- ( ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) <-> ( ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) )
224 anabs1 850 . . . . . 6 |- ( ( ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) )
225 anidm 676 . . . . . 6 |- ( ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) )
226223, 224, 2253bitri 286 . . . . 5 |- ( ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) )
227199, 222, 2263bitri 286 . . . 4 |- ( ( ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) /\ ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { C , B } e. E /\ { C , A } e. E ) ) /\ ( ( { B , C } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { A , B } e. E ) ) ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) )
228180, 227syl6bb 276 . . 3 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , C } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , C } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , B } , { x , A } } C_ E ) /\ ( E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , A } } C_ E /\ E! x e. { A , B , C } { { x , C } , { x , B } } C_ E ) ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) )
22913, 98, 2283bitrd 294 . 2 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( G e. FriendGraph <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) )
230229ex 450 1 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( G e. FriendGraph <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E!wreu 2914   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   {ctp 4181   ` cfv 5888  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   USGraph cusgr 26044   FriendGraph cfrgr 27120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-umgr 25978  df-usgr 26046  df-frgr 27121
This theorem is referenced by:  3vfriswmgr  27142
  Copyright terms: Public domain W3C validator