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Theorem ablo4 27404
Description: Commutative/associative law for Abelian groups. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ablcom.1 |- X = ran G
Assertion
Ref Expression
ablo4 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) -> ( ( A G B ) G ( C G D ) ) = ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )
Proof of Theorem ablo4
StepHypRef Expression
1 simprll 802 . . . . . 6 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) ) -> A e. X )
2 simprlr 803 . . . . . 6 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) ) -> B e. X )
3 simprrl 804 . . . . . 6 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) ) -> C e. X )
41, 2, 33jca 1242 . . . . 5 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) ) -> ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) )
5 ablcom.1 . . . . . 6 |- X = ran G
65ablo32 27403 . . . . 5 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A G B ) G C ) = ( ( A G C ) G B ) )
74, 6syldan 487 . . . 4 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) G C ) = ( ( A G C ) G B ) )
87oveq1d 6665 . . 3 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) ) -> ( ( ( A G B ) G C ) G D ) = ( ( ( A G C ) G B ) G D ) )
9 ablogrpo 27401 . . . 4 |- ( G e. AbelOp -> G e. GrpOp )
105grpocl 27354 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X )
11103expb 1266 . . . . . . 7 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A G B ) e. X )
1211adantrr 753 . . . . . 6 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) ) -> ( A G B ) e. X )
13 simprrl 804 . . . . . 6 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) ) -> C e. X )
14 simprrr 805 . . . . . 6 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) ) -> D e. X )
1512, 13, 143jca 1242 . . . . 5 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ D e. X ) )
165grpoass 27357 . . . . 5 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A G B ) e. X /\ C e. X /\ D e. X ) ) -> ( ( ( A G B ) G C ) G D ) = ( ( A G B ) G ( C G D ) ) )
1715, 16syldan 487 . . . 4 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) ) -> ( ( ( A G B ) G C ) G D ) = ( ( A G B ) G ( C G D ) ) )
189, 17sylan 488 . . 3 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) ) -> ( ( ( A G B ) G C ) G D ) = ( ( A G B ) G ( C G D ) ) )
195grpocl 27354 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ C e. X ) -> ( A G C ) e. X )
20193expb 1266 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( A e. X /\ C e. X ) ) -> ( A G C ) e. X )
2120adantrlr 759 . . . . . . 7 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ C e. X ) ) -> ( A G C ) e. X )
2221adantrrr 761 . . . . . 6 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) ) -> ( A G C ) e. X )
23 simprlr 803 . . . . . 6 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) ) -> B e. X )
2422, 23, 143jca 1242 . . . . 5 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) ) -> ( ( A G C ) e. X /\ B e. X /\ D e. X ) )
255grpoass 27357 . . . . 5 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A G C ) e. X /\ B e. X /\ D e. X ) ) -> ( ( ( A G C ) G B ) G D ) = ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )
2624, 25syldan 487 . . . 4 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) ) -> ( ( ( A G C ) G B ) G D ) = ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )
279, 26sylan 488 . . 3 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) ) -> ( ( ( A G C ) G B ) G D ) = ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )
288, 18, 273eqtr3d 2664 . 2 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) ) -> ( ( A G B ) G ( C G D ) ) = ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )
29283impb 1260 1 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( C e. X /\ D e. X ) ) -> ( ( A G B ) G ( C G D ) ) = ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ran crn 5115  (class class class)co 6650   GrpOpcgr 27343   AbelOpcablo 27398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896  df-ov 6653  df-grpo 27347  df-ablo 27399
This theorem is referenced by:  nvadd4  27480  ipdirilem  27684  rngoa4  33715
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