Theorem ipdirilem 27684

Description: Lemma for ipdiri 27685. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = ( BaseSet ` U )
ip1i.2	|- G = ( +v ` U )
ip1i.4	|- S = ( .sOLD ` U )
ip1i.7	|- P = ( .iOLD ` U )
ip1i.9	|- U e. CPreHil OLD
ipdiri.8	|- A e. X
ipdiri.9	|- B e. X
ipdiri.10	|- C e. X

Assertion

Ref	Expression
ipdirilem	|- ( ( A G B ) P C ) = ( ( A P C ) + ( B P C ) )

Proof of Theorem ipdirilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 11091	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
2		2ne0 11113	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
3	1, 2	recidi 10756	. . . . . 6 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
4	3	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) S ( A G B ) ) = ( 1 S ( A G B ) )
5		ip1i.9	. . . . . . 7 |- U e. CPreHil OLD
6	5	phnvi 27671	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
7		halfcn 11247	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. CC
8		ipdiri.8	. . . . . . . 8 |- A e. X
9		ipdiri.9	. . . . . . . 8 |- B e. X
10		ip1i.1	. . . . . . . . 9 |- X = ( BaseSet ` U )
11		ip1i.2	. . . . . . . . 9 |- G = ( +v ` U )
12	10, 11	nvgcl 27475	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X )
13	6, 8, 9, 12	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- ( A G B ) e. X
14	1, 7, 13	3pm3.2i 1239	. . . . . 6 |- ( 2 e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( A G B ) e. X )
15		ip1i.4	. . . . . . 7 |- S = ( .sOLD ` U )
16	10, 15	nvsass 27483	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( 2 e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( A G B ) e. X ) ) -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) S ( A G B ) ) = ( 2 S ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) ) )
17	6, 14, 16	mp2an 708	. . . . 5 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) S ( A G B ) ) = ( 2 S ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) )
18	10, 15	nvsid 27482	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A G B ) e. X ) -> ( 1 S ( A G B ) ) = ( A G B ) )
19	6, 13, 18	mp2an 708	. . . . 5 |- ( 1 S ( A G B ) ) = ( A G B )
20	4, 17, 19	3eqtr3i 2652	. . . 4 |- ( 2 S ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) ) = ( A G B )
21	20	oveq1i 6660	. . 3 |- ( ( 2 S ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) ) P C ) = ( ( A G B ) P C )
22		ip1i.7	. . . 4 |- P = ( .iOLD ` U )
23	10, 15	nvscl 27481	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( A G B ) e. X ) -> ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) e. X )
24	6, 7, 13, 23	mp3an 1424	. . . 4 |- ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) e. X
25		ipdiri.10	. . . 4 |- C e. X
26	10, 11, 15, 22, 5, 24, 25	ip2i 27683	. . 3 |- ( ( 2 S ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) ) P C ) = ( 2 x. ( ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) P C ) )
27	21, 26	eqtr3i 2646	. 2 |- ( ( A G B ) P C ) = ( 2 x. ( ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) P C ) )
28		neg1cn 11124	. . . . . 6 |- -u 1 e. CC
29	10, 15	nvscl 27481	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ -u 1 e. CC /\ B e. X ) -> ( -u 1 S B ) e. X )
30	6, 28, 9, 29	mp3an 1424	. . . . 5 |- ( -u 1 S B ) e. X
31	10, 11	nvgcl 27475	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( -u 1 S B ) e. X ) -> ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X )
32	6, 8, 30, 31	mp3an 1424	. . . 4 |- ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X
33	10, 15	nvscl 27481	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X ) -> ( ( 1 / 2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) e. X )
34	6, 7, 32, 33	mp3an 1424	. . 3 |- ( ( 1 / 2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) e. X
35	10, 11, 15, 22, 5, 24, 34, 25	ip1i 27682	. 2 |- ( ( ( ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1 / 2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) P C ) + ( ( ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) G ( -u 1 S ( ( 1 / 2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) ) P C ) ) = ( 2 x. ( ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) P C ) )
36		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1st ` U ) = ( 1st ` U )
37	36	nvvc 27470	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. NrmCVec -> ( 1st ` U ) e. CVecOLD )
38	6, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 1st ` U ) e. CVecOLD
39	11	vafval 27458	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( 1st ` ( 1st ` U ) )
40	39	vcablo 27424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1st ` U ) e. CVecOLD -> G e. AbelOp )
41	38, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- G e. AbelOp
42	8, 9	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 |- ( A e. X /\ B e. X )
43	8, 30	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 |- ( A e. X /\ ( -u 1 S B ) e. X )
44	10, 11	bafval 27459	. . . . . . . . . 10 |- X = ran G
45	44	ablo4 27404	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( A e. X /\ ( -u 1 S B ) e. X ) ) -> ( ( A G B ) G ( A G ( -u 1 S B ) ) ) = ( ( A G A ) G ( B G ( -u 1 S B ) ) ) )
46	41, 42, 43, 45	mp3an 1424	. . . . . . . 8 |- ( ( A G B ) G ( A G ( -u 1 S B ) ) ) = ( ( A G A ) G ( B G ( -u 1 S B ) ) )
47	15	smfval 27460	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( 2nd ` ( 1st ` U ) )
48	39, 47, 44	vc2OLD 27423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1st ` U ) e. CVecOLD /\ A e. X ) -> ( A G A ) = ( 2 S A ) )
49	38, 8, 48	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( A G A ) = ( 2 S A )
50		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0vec ` U ) = ( 0vec ` U )
51	10, 11, 15, 50	nvrinv 27506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> ( B G ( -u 1 S B ) ) = ( 0vec ` U ) )
52	6, 9, 51	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( B G ( -u 1 S B ) ) = ( 0vec ` U )
53	49, 52	oveq12i 6662	. . . . . . . 8 |- ( ( A G A ) G ( B G ( -u 1 S B ) ) ) = ( ( 2 S A ) G ( 0vec ` U ) )
54	10, 15	nvscl 27481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ 2 e. CC /\ A e. X ) -> ( 2 S A ) e. X )
55	6, 1, 8, 54	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 |- ( 2 S A ) e. X
56	10, 11, 50	nv0rid 27490	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( 2 S A ) e. X ) -> ( ( 2 S A ) G ( 0vec ` U ) ) = ( 2 S A ) )
57	6, 55, 56	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 S A ) G ( 0vec ` U ) ) = ( 2 S A )
58	46, 53, 57	3eqtri 2648	. . . . . . 7 |- ( ( A G B ) G ( A G ( -u 1 S B ) ) ) = ( 2 S A )
59	58	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( ( 1 / 2 ) S ( ( A G B ) G ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) S ( 2 S A ) )
60	7, 1, 8	3pm3.2i 1239	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ A e. X )
61	10, 15	nvsass 27483	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ A e. X ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) x. 2 ) S A ) = ( ( 1 / 2 ) S ( 2 S A ) ) )
62	6, 60, 61	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / 2 ) x. 2 ) S A ) = ( ( 1 / 2 ) S ( 2 S A ) )
63	59, 62	eqtr4i 2647	. . . . 5 |- ( ( 1 / 2 ) S ( ( A G B ) G ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) x. 2 ) S A )
64	7, 13, 32	3pm3.2i 1239	. . . . . 6 |- ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( A G B ) e. X /\ ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X )
65	10, 11, 15	nvdi 27485	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( A G B ) e. X /\ ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X ) ) -> ( ( 1 / 2 ) S ( ( A G B ) G ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1 / 2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) )
66	6, 64, 65	mp2an 708	. . . . 5 |- ( ( 1 / 2 ) S ( ( A G B ) G ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1 / 2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )
67		ax-1cn 9994	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
68	67, 1, 2	divcan1i 10769	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 2 ) x. 2 ) = 1
69	68	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / 2 ) x. 2 ) S A ) = ( 1 S A )
70	10, 15	nvsid 27482	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( 1 S A ) = A )
71	6, 8, 70	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( 1 S A ) = A
72	69, 71	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / 2 ) x. 2 ) S A ) = A
73	63, 66, 72	3eqtr3i 2652	. . . 4 |- ( ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1 / 2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) = A
74	73	oveq1i 6660	. . 3 |- ( ( ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1 / 2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) P C ) = ( A P C )
75	28, 7	mulcomi 10046	. . . . . . . . 9 |- ( -u 1 x. ( 1 / 2 ) ) = ( ( 1 / 2 ) x. -u 1 )
76	75	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( ( -u 1 x. ( 1 / 2 ) ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) x. -u 1 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) )
77	28, 7, 32	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . 9 |- ( -u 1 e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X )
78	10, 15	nvsass 27483	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( -u 1 e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X ) ) -> ( ( -u 1 x. ( 1 / 2 ) ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) = ( -u 1 S ( ( 1 / 2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) )
79	6, 77, 78	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( -u 1 x. ( 1 / 2 ) ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) = ( -u 1 S ( ( 1 / 2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )
80	7, 28, 32	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ -u 1 e. CC /\ ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X )
81	10, 15	nvsass 27483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ -u 1 e. CC /\ ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) x. -u 1 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) S ( -u 1 S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) )
82	6, 80, 81	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) x. -u 1 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) S ( -u 1 S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )
83	28, 8, 30	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u 1 e. CC /\ A e. X /\ ( -u 1 S B ) e. X )
84	10, 11, 15	nvdi 27485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( -u 1 e. CC /\ A e. X /\ ( -u 1 S B ) e. X ) ) -> ( -u 1 S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) = ( ( -u 1 S A ) G ( -u 1 S ( -u 1 S B ) ) ) )
85	6, 83, 84	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u 1 S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) = ( ( -u 1 S A ) G ( -u 1 S ( -u 1 S B ) ) )
86		neg1mulneg1e1 11245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u 1 x. -u 1 ) = 1
87	86	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u 1 x. -u 1 ) S B ) = ( 1 S B )
88	28, 28, 9	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u 1 e. CC /\ -u 1 e. CC /\ B e. X )
89	10, 15	nvsass 27483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( -u 1 e. CC /\ -u 1 e. CC /\ B e. X ) ) -> ( ( -u 1 x. -u 1 ) S B ) = ( -u 1 S ( -u 1 S B ) ) )
90	6, 88, 89	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u 1 x. -u 1 ) S B ) = ( -u 1 S ( -u 1 S B ) )
91	10, 15	nvsid 27482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> ( 1 S B ) = B )
92	6, 9, 91	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 S B ) = B
93	87, 90, 92	3eqtr3i 2652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u 1 S ( -u 1 S B ) ) = B
94	93	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u 1 S A ) G ( -u 1 S ( -u 1 S B ) ) ) = ( ( -u 1 S A ) G B )
95	85, 94	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- ( -u 1 S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) = ( ( -u 1 S A ) G B )
96	95	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / 2 ) S ( -u 1 S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) S ( ( -u 1 S A ) G B ) )
97	82, 96	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 / 2 ) x. -u 1 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) S ( ( -u 1 S A ) G B ) )
98	76, 79, 97	3eqtr3i 2652	. . . . . . 7 |- ( -u 1 S ( ( 1 / 2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) S ( ( -u 1 S A ) G B ) )
99	98	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) G ( -u 1 S ( ( 1 / 2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1 / 2 ) S ( ( -u 1 S A ) G B ) ) )
100	10, 15	nvscl 27481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ -u 1 e. CC /\ A e. X ) -> ( -u 1 S A ) e. X )
101	6, 28, 8, 100	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 |- ( -u 1 S A ) e. X
102	10, 11	nvgcl 27475	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( -u 1 S A ) e. X /\ B e. X ) -> ( ( -u 1 S A ) G B ) e. X )
103	6, 101, 9, 102	mp3an 1424	. . . . . . . 8 |- ( ( -u 1 S A ) G B ) e. X
104	7, 13, 103	3pm3.2i 1239	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( A G B ) e. X /\ ( ( -u 1 S A ) G B ) e. X )
105	10, 11, 15	nvdi 27485	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( A G B ) e. X /\ ( ( -u 1 S A ) G B ) e. X ) ) -> ( ( 1 / 2 ) S ( ( A G B ) G ( ( -u 1 S A ) G B ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1 / 2 ) S ( ( -u 1 S A ) G B ) ) ) )
106	6, 104, 105	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( ( 1 / 2 ) S ( ( A G B ) G ( ( -u 1 S A ) G B ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1 / 2 ) S ( ( -u 1 S A ) G B ) ) )
107	99, 106	eqtr4i 2647	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) G ( -u 1 S ( ( 1 / 2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) S ( ( A G B ) G ( ( -u 1 S A ) G B ) ) )
108	101, 9	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u 1 S A ) e. X /\ B e. X )
109	44	ablo4 27404	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( ( -u 1 S A ) e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( A G B ) G ( ( -u 1 S A ) G B ) ) = ( ( A G ( -u 1 S A ) ) G ( B G B ) ) )
110	41, 42, 108, 109	mp3an 1424	. . . . . . . 8 |- ( ( A G B ) G ( ( -u 1 S A ) G B ) ) = ( ( A G ( -u 1 S A ) ) G ( B G B ) )
111	10, 11, 15, 50	nvrinv 27506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( A G ( -u 1 S A ) ) = ( 0vec ` U ) )
112	6, 8, 111	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( A G ( -u 1 S A ) ) = ( 0vec ` U )
113	112	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 |- ( ( A G ( -u 1 S A ) ) G ( B G B ) ) = ( ( 0vec ` U ) G ( B G B ) )
114	10, 11	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X /\ B e. X ) -> ( B G B ) e. X )
115	6, 9, 9, 114	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10 |- ( B G B ) e. X
116	10, 11, 50	nv0lid 27491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( B G B ) e. X ) -> ( ( 0vec ` U ) G ( B G B ) ) = ( B G B ) )
117	6, 115, 116	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0vec ` U ) G ( B G B ) ) = ( B G B )
118	113, 117	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( ( A G ( -u 1 S A ) ) G ( B G B ) ) = ( B G B )
119	39, 47, 44	vc2OLD 27423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` U ) e. CVecOLD /\ B e. X ) -> ( B G B ) = ( 2 S B ) )
120	38, 9, 119	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( B G B ) = ( 2 S B )
121	110, 118, 120	3eqtri 2648	. . . . . . 7 |- ( ( A G B ) G ( ( -u 1 S A ) G B ) ) = ( 2 S B )
122	121	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( ( 1 / 2 ) S ( ( A G B ) G ( ( -u 1 S A ) G B ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) S ( 2 S B ) )
123	7, 1, 9	3pm3.2i 1239	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ B e. X )
124	10, 15	nvsass 27483	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ B e. X ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) x. 2 ) S B ) = ( ( 1 / 2 ) S ( 2 S B ) ) )
125	6, 123, 124	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / 2 ) x. 2 ) S B ) = ( ( 1 / 2 ) S ( 2 S B ) )
126	68	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / 2 ) x. 2 ) S B ) = ( 1 S B )
127	122, 125, 126	3eqtr2i 2650	. . . . 5 |- ( ( 1 / 2 ) S ( ( A G B ) G ( ( -u 1 S A ) G B ) ) ) = ( 1 S B )
128	107, 127, 92	3eqtri 2648	. . . 4 |- ( ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) G ( -u 1 S ( ( 1 / 2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) ) = B
129	128	oveq1i 6660	. . 3 |- ( ( ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) G ( -u 1 S ( ( 1 / 2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) ) P C ) = ( B P C )
130	74, 129	oveq12i 6662	. 2 |- ( ( ( ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1 / 2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) P C ) + ( ( ( ( 1 / 2 ) S ( A G B ) ) G ( -u 1 S ( ( 1 / 2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) ) P C ) ) = ( ( A P C ) + ( B P C ) )
131	27, 35, 130	3eqtr2i 2650	1 |- ( ( A G B ) P C ) = ( ( A P C ) + ( B P C ) )

Syntax hints:   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   AbelOpcablo 27398   CVecOLDcvc 27413   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   0veccn0v 27443   .iOLDcdip 27555   CPreHil OLDccphlo 27667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-dip 27556  df-ph 27668

This theorem is referenced by:  ipdiri  27685