Theorem acnrcl 8865

Description: Reverse closure for the choice set predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnrcl	|- ( X e. AC A -> A e. _V )

Proof of Theorem acnrcl

Dummy variables f g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 3921	. . 3 |- ( X e. { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } -> { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } =/= (/) )
2		abn0 3954	. . . 4 |- ( { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } =/= (/) <-> E. x ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
3		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) -> A e. _V )
4	3	exlimiv 1858	. . . 4 |- ( E. x ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) -> A e. _V )
5	2, 4	sylbi 207	. . 3 |- ( { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } =/= (/) -> A e. _V )
6	1, 5	syl 17	. 2 |- ( X e. { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } -> A e. _V )
7		df-acn 8768	. 2 |- AC A = { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) }
8	6, 7	eleq2s 2719	1 |- ( X e. AC A -> A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857  AC wacn 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-v 3202  df-dif 3577  df-nul 3916  df-acn 8768

This theorem is referenced by:  acni  8868  acni2  8869  acndom2  8877  fodomacn  8879  iundom2g  9362