Theorem acneq 8866

Description: Equality theorem for the choice set function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acneq	|- ( A = C -> AC A = AC C )

Proof of Theorem acneq

Dummy variables f g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2689	. . . 4 |- ( A = C -> ( A e. _V <-> C e. _V ) )
2		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( A = C -> ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) = ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m C ) )
3		raleq 3138	. . . . . 6 |- ( A = C -> ( A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
4	3	exbidv 1850	. . . . 5 |- ( A = C -> ( E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
5	2, 4	raleqbidv 3152	. . . 4 |- ( A = C -> ( A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
6	1, 5	anbi12d 747	. . 3 |- ( A = C -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) <-> ( C e. _V /\ A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) ) )
7	6	abbidv 2741	. 2 |- ( A = C -> { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } = { x | ( C e. _V /\ A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } )
8		df-acn 8768	. 2 |- AC A = { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) }
9		df-acn 8768	. 2 |- AC C = { x | ( C e. _V /\ A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m C ) E. g A. y e. C ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) }
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2681	1 |- ( A = C -> AC A = AC C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857  AC wacn 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-acn 8768

This theorem is referenced by:  acndom  8874  dfacacn  8963  dfac13  8964