Theorem fodomacn 8879

Description: A version of fodom 9344 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 9281. If A has choice sequences of length B, then any surjection from A to B can be inverted to an injection the other way. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fodomacn	|- ( A e. AC B -> ( F : A -onto-> B -> B ~<_ A ) )

Proof of Theorem fodomacn

Dummy variables x f y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foelrn 6378	. . . . 5 |- ( ( F : A -onto-> B /\ x e. B ) -> E. y e. A x = ( F ` y ) )
2	1	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> A. x e. B E. y e. A x = ( F ` y ) )
3		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( y = ( f ` x ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( f ` x ) ) )
4	3	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( y = ( f ` x ) -> ( x = ( F ` y ) <-> x = ( F ` ( f ` x ) ) ) )
5	4	acni3 8870	. . . 4 |- ( ( A e. AC B /\ A. x e. B E. y e. A x = ( F ` y ) ) -> E. f ( f : B --> A /\ A. x e. B x = ( F ` ( f ` x ) ) ) )
6	2, 5	sylan2 491	. . 3 |- ( ( A e. AC B /\ F : A -onto-> B ) -> E. f ( f : B --> A /\ A. x e. B x = ( F ` ( f ` x ) ) ) )
7		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( A e. AC B /\ F : A -onto-> B ) /\ ( f : B --> A /\ A. x e. B x = ( F ` ( f ` x ) ) ) ) -> A e. AC B )
8		acnrcl 8865	. . . . 5 |- ( A e. AC B -> B e. _V )
9	7, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( A e. AC B /\ F : A -onto-> B ) /\ ( f : B --> A /\ A. x e. B x = ( F ` ( f ` x ) ) ) ) -> B e. _V )
10		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ( A e. AC B /\ F : A -onto-> B ) /\ ( f : B --> A /\ A. x e. B x = ( F ` ( f ` x ) ) ) ) -> f : B --> A )
11		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( ( f ` y ) = ( f ` z ) -> ( F ` ( f ` y ) ) = ( F ` ( f ` z ) ) )
12		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. AC B /\ F : A -onto-> B ) /\ ( f : B --> A /\ A. x e. B x = ( F ` ( f ` x ) ) ) ) -> A. x e. B x = ( F ` ( f ` x ) ) )
13		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> x = y )
14		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( f ` x ) = ( f ` y ) )
15	14	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( F ` ( f ` x ) ) = ( F ` ( f ` y ) ) )
16	13, 15	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x = ( F ` ( f ` x ) ) <-> y = ( F ` ( f ` y ) ) ) )
17	16	rspccva 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. B x = ( F ` ( f ` x ) ) /\ y e. B ) -> y = ( F ` ( f ` y ) ) )
18		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> x = z )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( f ` x ) = ( f ` z ) )
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( F ` ( f ` x ) ) = ( F ` ( f ` z ) ) )
21	18, 20	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( x = ( F ` ( f ` x ) ) <-> z = ( F ` ( f ` z ) ) ) )
22	21	rspccva 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. B x = ( F ` ( f ` x ) ) /\ z e. B ) -> z = ( F ` ( f ` z ) ) )
23	17, 22	eqeqan12d 2638	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. B x = ( F ` ( f ` x ) ) /\ y e. B ) /\ ( A. x e. B x = ( F ` ( f ` x ) ) /\ z e. B ) ) -> ( y = z <-> ( F ` ( f ` y ) ) = ( F ` ( f ` z ) ) ) )
24	23	anandis 873	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. B x = ( F ` ( f ` x ) ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y = z <-> ( F ` ( f ` y ) ) = ( F ` ( f ` z ) ) ) )
25	12, 24	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. AC B /\ F : A -onto-> B ) /\ ( f : B --> A /\ A. x e. B x = ( F ` ( f ` x ) ) ) ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y = z <-> ( F ` ( f ` y ) ) = ( F ` ( f ` z ) ) ) )
26	11, 25	syl5ibr 236	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. AC B /\ F : A -onto-> B ) /\ ( f : B --> A /\ A. x e. B x = ( F ` ( f ` x ) ) ) ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( f ` y ) = ( f ` z ) -> y = z ) )
27	26	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( ( A e. AC B /\ F : A -onto-> B ) /\ ( f : B --> A /\ A. x e. B x = ( F ` ( f ` x ) ) ) ) -> A. y e. B A. z e. B ( ( f ` y ) = ( f ` z ) -> y = z ) )
28		dff13 6512	. . . . 5 |- ( f : B -1-1-> A <-> ( f : B --> A /\ A. y e. B A. z e. B ( ( f ` y ) = ( f ` z ) -> y = z ) ) )
29	10, 27, 28	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ( A e. AC B /\ F : A -onto-> B ) /\ ( f : B --> A /\ A. x e. B x = ( F ` ( f ` x ) ) ) ) -> f : B -1-1-> A )
30		f1dom2g 7973	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ A e. AC B /\ f : B -1-1-> A ) -> B ~<_ A )
31	9, 7, 29, 30	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( A e. AC B /\ F : A -onto-> B ) /\ ( f : B --> A /\ A. x e. B x = ( F ` ( f ` x ) ) ) ) -> B ~<_ A )
32	6, 31	exlimddv 1863	. 2 |- ( ( A e. AC B /\ F : A -onto-> B ) -> B ~<_ A )
33	32	ex 450	1 |- ( A e. AC B -> ( F : A -onto-> B -> B ~<_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   ~<_ cdom 7953  AC wacn 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-dom 7957  df-acn 8768

This theorem is referenced by:  fodomnum  8880  iundomg  9363