Theorem acni 8868

Description: The property of being a choice set of length A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acni	|- ( ( X e. AC A /\ F : A --> ( ~P X \ { (/) } ) ) -> E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( F ` x ) )

Distinct variable groups:   x, g, A   g, F, x   g, X, x

Proof of Theorem acni

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4850	. . . . 5 |- ( X e. AC A -> ~P X e. _V )
2		difexg 4808	. . . . 5 |- ( ~P X e. _V -> ( ~P X \ { (/) } ) e. _V )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( X e. AC A -> ( ~P X \ { (/) } ) e. _V )
4		acnrcl 8865	. . . 4 |- ( X e. AC A -> A e. _V )
5	3, 4	elmapd 7871	. . 3 |- ( X e. AC A -> ( F e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) <-> F : A --> ( ~P X \ { (/) } ) ) )
6	5	biimpar 502	. 2 |- ( ( X e. AC A /\ F : A --> ( ~P X \ { (/) } ) ) -> F e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) )
7		isacn 8867	. . . . 5 |- ( ( X e. AC A /\ A e. _V ) -> ( X e. AC A <-> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
8	4, 7	mpdan 702	. . . 4 |- ( X e. AC A -> ( X e. AC A <-> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
9	8	ibi 256	. . 3 |- ( X e. AC A -> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) )
10	9	adantr 481	. 2 |- ( ( X e. AC A /\ F : A --> ( ~P X \ { (/) } ) ) -> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) )
11		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
12	11	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( g ` x ) e. ( f ` x ) <-> ( g ` x ) e. ( F ` x ) ) )
13	12	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( f = F -> ( A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) <-> A. x e. A ( g ` x ) e. ( F ` x ) ) )
14	13	exbidv 1850	. . 3 |- ( f = F -> ( E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) <-> E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( F ` x ) ) )
15	14	rspcv 3305	. 2 |- ( F e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) -> ( A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) -> E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( F ` x ) ) )
16	6, 10, 15	sylc 65	1 |- ( ( X e. AC A /\ F : A --> ( ~P X \ { (/) } ) ) -> E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( F ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857  AC wacn 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-acn 8768

This theorem is referenced by:  acni2  8869