Theorem acni2 8869

Description: The property of being a choice set of length A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acni2	|- ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) -> E. g ( g : A --> X /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )

Distinct variable groups:   x, g, A   B, g   g, X, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem acni2

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4317	. . . . . . 7 |- ( B e. ( ~P X \ { (/) } ) <-> ( B e. ~P X /\ B =/= (/) ) )
2		elpw2g 4827	. . . . . . . 8 |- ( X e. AC A -> ( B e. ~P X <-> B C_ X ) )
3	2	anbi1d 741	. . . . . . 7 |- ( X e. AC A -> ( ( B e. ~P X /\ B =/= (/) ) <-> ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) )
4	1, 3	syl5bb 272	. . . . . 6 |- ( X e. AC A -> ( B e. ( ~P X \ { (/) } ) <-> ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) )
5	4	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( X e. AC A -> ( A. x e. A B e. ( ~P X \ { (/) } ) <-> A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) )
6	5	biimpar 502	. . . 4 |- ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) -> A. x e. A B e. ( ~P X \ { (/) } ) )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
8	7	fmpt 6381	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. ( ~P X \ { (/) } ) <-> ( x e. A |-> B ) : A --> ( ~P X \ { (/) } ) )
9	6, 8	sylib 208	. . 3 |- ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) -> ( x e. A |-> B ) : A --> ( ~P X \ { (/) } ) )
10		acni 8868	. . 3 |- ( ( X e. AC A /\ ( x e. A |-> B ) : A --> ( ~P X \ { (/) } ) ) -> E. f A. y e. A ( f ` y ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` y ) )
11	9, 10	syldan 487	. 2 |- ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) -> E. f A. y e. A ( f ` y ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` y ) )
12		nffvmpt1 6199	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( x e. A |-> B ) ` y )
13	12	nfel2 2781	. . . . 5 |- F/ x ( f ` y ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` y )
14		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ y ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x )
15		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( f ` y ) = ( f ` x ) )
16		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( ( x e. A |-> B ) ` y ) = ( ( x e. A |-> B ) ` x ) )
17	15, 16	eleq12d 2695	. . . . 5 |- ( y = x -> ( ( f ` y ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` y ) <-> ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) )
18	13, 14, 17	cbvral 3167	. . . 4 |- ( A. y e. A ( f ` y ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` y ) <-> A. x e. A ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) )
19		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) -> A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) )
20		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. AC A /\ x e. A ) /\ B C_ X ) -> x e. A )
21		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( X e. AC A /\ x e. A ) /\ B C_ X ) -> X e. AC A )
22		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( X e. AC A /\ x e. A ) /\ B C_ X ) -> B C_ X )
23	21, 22	ssexd 4805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. AC A /\ x e. A ) /\ B C_ X ) -> B e. _V )
24	7	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. A /\ B e. _V ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
25	20, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. AC A /\ x e. A ) /\ B C_ X ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
26	25	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. AC A /\ x e. A ) /\ B C_ X ) -> ( ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <-> ( f ` x ) e. B ) )
27	26	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. AC A /\ x e. A ) -> ( B C_ X -> ( ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <-> ( f ` x ) e. B ) ) )
28	27	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. AC A /\ x e. A ) -> ( ( B C_ X /\ B =/= (/) ) -> ( ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <-> ( f ` x ) e. B ) ) )
29	28	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. AC A -> ( A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) -> A. x e. A ( ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <-> ( f ` x ) e. B ) ) )
30	29	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) -> A. x e. A ( ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <-> ( f ` x ) e. B ) )
31		ralbi 3068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <-> ( f ` x ) e. B ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <-> A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <-> A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
33	32	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) -> A. x e. A ( f ` x ) e. B )
34		ssel 3597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B C_ X -> ( ( f ` x ) e. B -> ( f ` x ) e. X ) )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B C_ X /\ B =/= (/) ) -> ( ( f ` x ) e. B -> ( f ` x ) e. X ) )
36	35	ral2imi 2947	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) e. B -> A. x e. A ( f ` x ) e. X ) )
37	19, 33, 36	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) -> A. x e. A ( f ` x ) e. X )
38		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( f ` x ) = ( f ` y ) )
39	38	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( f ` x ) e. X <-> ( f ` y ) e. X ) )
40	39	rspccva 3308	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. A ( f ` x ) e. X /\ y e. A ) -> ( f ` y ) e. X )
41	37, 40	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) /\ y e. A ) -> ( f ` y ) e. X )
42		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( y e. A |-> ( f ` y ) ) = ( y e. A |-> ( f ` y ) )
43	41, 42	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) -> ( y e. A |-> ( f ` y ) ) : A --> X )
44		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) -> X e. AC A )
45		acnrcl 8865	. . . . . . . 8 |- ( X e. AC A -> A e. _V )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) -> A e. _V )
47		fex2 7121	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. A |-> ( f ` y ) ) : A --> X /\ A e. _V /\ X e. AC A ) -> ( y e. A |-> ( f ` y ) ) e. _V )
48	43, 46, 44, 47	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) -> ( y e. A |-> ( f ` y ) ) e. _V )
49		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( f ` x ) e. _V
50	15, 42, 49	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( ( y e. A |-> ( f ` y ) ) ` x ) = ( f ` x ) )
51	50	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( ( ( y e. A |-> ( f ` y ) ) ` x ) e. B <-> ( f ` x ) e. B ) )
52	51	ralbiia 2979	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( ( y e. A |-> ( f ` y ) ) ` x ) e. B <-> A. x e. A ( f ` x ) e. B )
53	33, 52	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) -> A. x e. A ( ( y e. A |-> ( f ` y ) ) ` x ) e. B )
54	43, 53	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) -> ( ( y e. A |-> ( f ` y ) ) : A --> X /\ A. x e. A ( ( y e. A |-> ( f ` y ) ) ` x ) e. B ) )
55		feq1 6026	. . . . . . . 8 |- ( g = ( y e. A |-> ( f ` y ) ) -> ( g : A --> X <-> ( y e. A |-> ( f ` y ) ) : A --> X ) )
56		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( y e. A |-> ( f ` y ) ) -> ( g ` x ) = ( ( y e. A |-> ( f ` y ) ) ` x ) )
57	56	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( y e. A |-> ( f ` y ) ) -> ( ( g ` x ) e. B <-> ( ( y e. A |-> ( f ` y ) ) ` x ) e. B ) )
58	57	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( g = ( y e. A |-> ( f ` y ) ) -> ( A. x e. A ( g ` x ) e. B <-> A. x e. A ( ( y e. A |-> ( f ` y ) ) ` x ) e. B ) )
59	55, 58	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( g = ( y e. A |-> ( f ` y ) ) -> ( ( g : A --> X /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) <-> ( ( y e. A |-> ( f ` y ) ) : A --> X /\ A. x e. A ( ( y e. A |-> ( f ` y ) ) ` x ) e. B ) ) )
60	59	spcegv 3294	. . . . . 6 |- ( ( y e. A |-> ( f ` y ) ) e. _V -> ( ( ( y e. A |-> ( f ` y ) ) : A --> X /\ A. x e. A ( ( y e. A |-> ( f ` y ) ) ` x ) e. B ) -> E. g ( g : A --> X /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) ) )
61	48, 54, 60	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) -> E. g ( g : A --> X /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )
62	61	ex 450	. . . 4 |- ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` x ) -> E. g ( g : A --> X /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) ) )
63	18, 62	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) -> ( A. y e. A ( f ` y ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` y ) -> E. g ( g : A --> X /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) ) )
64	63	exlimdv 1861	. 2 |- ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) -> ( E. f A. y e. A ( f ` y ) e. ( ( x e. A |-> B ) ` y ) -> E. g ( g : A --> X /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) ) )
65	11, 64	mpd 15	1 |- ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( B C_ X /\ B =/= (/) ) ) -> E. g ( g : A --> X /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  AC wacn 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-acn 8768

This theorem is referenced by:  acni3  8870  acndom  8874  acnnum  8875  acndom2  8877  dfacacn  8963