MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acndom2 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem acndom2 8877
Description: A set smaller than one with choice sequences of length A also has choice sequences of length A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom2 |- ( X ~<_ Y -> ( Y e. AC A -> X e. AC A ) )
Proof of Theorem acndom2
Dummy variables f g h k x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7966 . 2 |- ( X ~<_ Y -> E. f f : X -1-1-> Y )
2 simplr 792 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> Y e. AC A )
3 imassrn 5477 . . . . . . . . . . 11 |- ( f " ( g ` x ) ) C_ ran f
4 simplll 798 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> f : X -1-1-> Y )
5 f1f 6101 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f : X -1-1-> Y -> f : X --> Y )
6 frn 6053 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f : X --> Y -> ran f C_ Y )
74, 5, 63syl 18 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ran f C_ Y )
83, 7syl5ss 3614 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f " ( g ` x ) ) C_ Y )
9 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) -> g : A --> ( ~P X \ { (/) } ) )
109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> g : A --> ( ~P X \ { (/) } ) )
1110ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. ( ~P X \ { (/) } ) )
1211eldifad 3586 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. ~P X )
1312elpwid 4170 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) C_ X )
14 f1dm 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : X -1-1-> Y -> dom f = X )
154, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> dom f = X )
1613, 15sseqtr4d 3642 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) C_ dom f )
17 sseqin2 3817 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g ` x ) C_ dom f <-> ( dom f i^i ( g ` x ) ) = ( g ` x ) )
1816, 17sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( dom f i^i ( g ` x ) ) = ( g ` x ) )
19 eldifsni 4320 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g ` x ) e. ( ~P X \ { (/) } ) -> ( g ` x ) =/= (/) )
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) =/= (/) )
2118, 20eqnetrd 2861 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( dom f i^i ( g ` x ) ) =/= (/) )
22 imadisj 5484 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f " ( g ` x ) ) = (/) <-> ( dom f i^i ( g ` x ) ) = (/) )
2322necon3bii 2846 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f " ( g ` x ) ) =/= (/) <-> ( dom f i^i ( g ` x ) ) =/= (/) )
2421, 23sylibr 224 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f " ( g ` x ) ) =/= (/) )
258, 24jca 554 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( f " ( g ` x ) ) C_ Y /\ ( f " ( g ` x ) ) =/= (/) ) )
2625ralrimiva 2966 . . . . . . . 8 |- ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> A. x e. A ( ( f " ( g ` x ) ) C_ Y /\ ( f " ( g ` x ) ) =/= (/) ) )
27 acni2 8869 . . . . . . . 8 |- ( ( Y e. AC A /\ A. x e. A ( ( f " ( g ` x ) ) C_ Y /\ ( f " ( g ` x ) ) =/= (/) ) ) -> E. k ( k : A --> Y /\ A. x e. A ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) )
282, 26, 27syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> E. k ( k : A --> Y /\ A. x e. A ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) )
29 acnrcl 8865 . . . . . . . . 9 |- ( Y e. AC A -> A e. _V )
3029ad3antlr 767 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ ( k : A --> Y /\ A. x e. A ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> A e. _V )
31 simp-4l 806 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> f : X -1-1-> Y )
32 f1f1orn 6148 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : X -1-1-> Y -> f : X -1-1-onto-> ran f )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> f : X -1-1-onto-> ran f )
34 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) )
353, 34sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> ( k ` x ) e. ran f )
36 f1ocnvfv2 6533 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : X -1-1-onto-> ran f /\ ( k ` x ) e. ran f ) -> ( f ` ( `' f ` ( k ` x ) ) ) = ( k ` x ) )
3733, 35, 36syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> ( f ` ( `' f ` ( k ` x ) ) ) = ( k ` x ) )
3837, 34eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> ( f ` ( `' f ` ( k ` x ) ) ) e. ( f " ( g ` x ) ) )
39 f1ocnv 6149 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : X -1-1-onto-> ran f -> `' f : ran f -1-1-onto-> X )
40 f1of 6137 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' f : ran f -1-1-onto-> X -> `' f : ran f --> X )
4133, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> `' f : ran f --> X )
4241, 35ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> ( `' f ` ( k ` x ) ) e. X )
4313ad2ant2r 783 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> ( g ` x ) C_ X )
44 f1elima 6520 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : X -1-1-> Y /\ ( `' f ` ( k ` x ) ) e. X /\ ( g ` x ) C_ X ) -> ( ( f ` ( `' f ` ( k ` x ) ) ) e. ( f " ( g ` x ) ) <-> ( `' f ` ( k ` x ) ) e. ( g ` x ) ) )
4531, 42, 43, 44syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> ( ( f ` ( `' f ` ( k ` x ) ) ) e. ( f " ( g ` x ) ) <-> ( `' f ` ( k ` x ) ) e. ( g ` x ) ) )
4638, 45mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> ( `' f ` ( k ` x ) ) e. ( g ` x ) )
4746expr 643 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ x e. A ) -> ( ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) -> ( `' f ` ( k ` x ) ) e. ( g ` x ) ) )
4847ralimdva 2962 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) -> ( A. x e. A ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) -> A. x e. A ( `' f ` ( k ` x ) ) e. ( g ` x ) ) )
4948impr 649 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ ( k : A --> Y /\ A. x e. A ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> A. x e. A ( `' f ` ( k ` x ) ) e. ( g ` x ) )
50 acnlem 8871 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ A. x e. A ( `' f ` ( k ` x ) ) e. ( g ` x ) ) -> E. h A. x e. A ( h ` x ) e. ( g ` x ) )
5130, 49, 50syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ ( k : A --> Y /\ A. x e. A ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> E. h A. x e. A ( h ` x ) e. ( g ` x ) )
5228, 51exlimddv 1863 . . . . . 6 |- ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> E. h A. x e. A ( h ` x ) e. ( g ` x ) )
5352ralrimiva 2966 . . . . 5 |- ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) -> A. g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. h A. x e. A ( h ` x ) e. ( g ` x ) )
54 vex 3203 . . . . . . . 8 |- f e. _V
5554dmex 7099 . . . . . . 7 |- dom f e. _V
5614, 55syl6eqelr 2710 . . . . . 6 |- ( f : X -1-1-> Y -> X e. _V )
57 isacn 8867 . . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ A e. _V ) -> ( X e. AC A <-> A. g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. h A. x e. A ( h ` x ) e. ( g ` x ) ) )
5856, 29, 57syl2an 494 . . . . 5 |- ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) -> ( X e. AC A <-> A. g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. h A. x e. A ( h ` x ) e. ( g ` x ) ) )
5953, 58mpbird 247 . . . 4 |- ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC A ) -> X e. AC A )
6059ex 450 . . 3 |- ( f : X -1-1-> Y -> ( Y e. AC A -> X e. AC A ) )
6160exlimiv 1858 . 2 |- ( E. f f : X -1-1-> Y -> ( Y e. AC A -> X e. AC A ) )
621, 61syl 17 1 |- ( X ~<_ Y -> ( Y e. AC A -> X e. AC A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   ~<_ cdom 7953  AC wacn 8764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-dom 7957  df-acn 8768
This theorem is referenced by:  acnen2  8878  dfac13  8964  iundomg  9363  iunctb  9396
  Copyright terms: Public domain W3C validator