Theorem afvco2 41256

Description: Value of a function composition, analogous to fvco2 6273. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvco2	|- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( F o. G )''' X ) = ( F''' ( G''' X ) ) )

Proof of Theorem afvco2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvco2 6273	. . . . 5 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( F o. G ) ` X ) = ( F ` ( G ` X ) ) )
2	1	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ( G ` X ) e. dom F /\ Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( F o. G ) ` X ) = ( F ` ( G ` X ) ) )
3		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G ` X ) e. dom F /\ Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( G ` X ) e. dom F )
4		df-fn 5891	. . . . . . . . 9 |- ( G Fn A <-> ( Fun G /\ dom G = A ) )
5		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Fun G /\ dom G = A ) /\ X e. A ) -> Fun G )
6		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A = dom G -> ( X e. A <-> X e. dom G ) )
7	6	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom G = A -> ( X e. A <-> X e. dom G ) )
8	7	biimpd 219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dom G = A -> ( X e. A -> X e. dom G ) )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun G /\ dom G = A ) -> ( X e. A -> X e. dom G ) )
10	9	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Fun G /\ dom G = A ) /\ X e. A ) -> X e. dom G )
11	5, 10	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Fun G /\ dom G = A ) /\ X e. A ) -> ( Fun G /\ X e. dom G ) )
12	4, 11	sylanb 489	. . . . . . . 8 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( Fun G /\ X e. dom G ) )
13	12	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G ` X ) e. dom F /\ Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( Fun G /\ X e. dom G ) )
14		dmfco 6272	. . . . . . 7 |- ( ( Fun G /\ X e. dom G ) -> ( X e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` X ) e. dom F ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G ` X ) e. dom F /\ Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( X e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` X ) e. dom F ) )
16	3, 15	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( ( G ` X ) e. dom F /\ Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> X e. dom ( F o. G ) )
17		funcoressn 41207	. . . . 5 |- ( ( ( ( G ` X ) e. dom F /\ Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) )
18		df-dfat 41196	. . . . . 6 |- ( ( F o. G ) defAt X <-> ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) )
19		afvfundmfveq 41218	. . . . . 6 |- ( ( F o. G ) defAt X -> ( ( F o. G )''' X ) = ( ( F o. G ) ` X ) )
20	18, 19	sylbir 225	. . . . 5 |- ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) -> ( ( F o. G )''' X ) = ( ( F o. G ) ` X ) )
21	16, 17, 20	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ( G ` X ) e. dom F /\ Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( F o. G )''' X ) = ( ( F o. G ) ` X ) )
22		df-dfat 41196	. . . . . 6 |- ( F defAt ( G ` X ) <-> ( ( G ` X ) e. dom F /\ Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) )
23		afvfundmfveq 41218	. . . . . 6 |- ( F defAt ( G ` X ) -> ( F''' ( G ` X ) ) = ( F ` ( G ` X ) ) )
24	22, 23	sylbir 225	. . . . 5 |- ( ( ( G ` X ) e. dom F /\ Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) -> ( F''' ( G ` X ) ) = ( F ` ( G ` X ) ) )
25	24	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( G ` X ) e. dom F /\ Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( F''' ( G ` X ) ) = ( F ` ( G ` X ) ) )
26	2, 21, 25	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( ( G ` X ) e. dom F /\ Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( F o. G )''' X ) = ( F''' ( G ` X ) ) )
27		ianor 509	. . . . . 6 |- ( -. ( ( G ` X ) e. dom F /\ Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) <-> ( -. ( G ` X ) e. dom F \/ -. Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) )
28	14	funfni 5991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( X e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` X ) e. dom F ) )
29	28	bicomd 213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( G ` X ) e. dom F <-> X e. dom ( F o. G ) ) )
30	29	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( -. ( G ` X ) e. dom F <-> -. X e. dom ( F o. G ) ) )
31	30	biimpd 219	. . . . . . . 8 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( -. ( G ` X ) e. dom F -> -. X e. dom ( F o. G ) ) )
32		ndmafv 41220	. . . . . . . 8 |- ( -. X e. dom ( F o. G ) -> ( ( F o. G )''' X ) = _V )
33	31, 32	syl6com 37	. . . . . . 7 |- ( -. ( G ` X ) e. dom F -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( F o. G )''' X ) = _V ) )
34		funressnfv 41208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) )
35	34	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) )
36		afvnfundmuv 41219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( F o. G ) defAt X -> ( ( F o. G )''' X ) = _V )
37	18, 36	sylnbir 321	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( X e. dom ( F o. G ) /\ Fun ( ( F o. G ) |` { X } ) ) -> ( ( F o. G )''' X ) = _V )
38	35, 37	nsyl4 156	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( ( F o. G )''' X ) = _V -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) )
39	38	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( -. ( ( F o. G )''' X ) = _V -> Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) )
40	39	con1d 139	. . . . . . . 8 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( -. Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) -> ( ( F o. G )''' X ) = _V ) )
41	40	com12 32	. . . . . . 7 |- ( -. Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( F o. G )''' X ) = _V ) )
42	33, 41	jaoi 394	. . . . . 6 |- ( ( -. ( G ` X ) e. dom F \/ -. Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( F o. G )''' X ) = _V ) )
43	27, 42	sylbi 207	. . . . 5 |- ( -. ( ( G ` X ) e. dom F /\ Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) -> ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( F o. G )''' X ) = _V ) )
44	43	imp 445	. . . 4 |- ( ( -. ( ( G ` X ) e. dom F /\ Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( F o. G )''' X ) = _V )
45		afvnfundmuv 41219	. . . . . . 7 |- ( -. F defAt ( G ` X ) -> ( F''' ( G ` X ) ) = _V )
46	22, 45	sylnbir 321	. . . . . 6 |- ( -. ( ( G ` X ) e. dom F /\ Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) -> ( F''' ( G ` X ) ) = _V )
47	46	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( -. ( ( G ` X ) e. dom F /\ Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) -> _V = ( F''' ( G ` X ) ) )
48	47	adantr 481	. . . 4 |- ( ( -. ( ( G ` X ) e. dom F /\ Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> _V = ( F''' ( G ` X ) ) )
49	44, 48	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( -. ( ( G ` X ) e. dom F /\ Fun ( F |` { ( G ` X ) } ) ) /\ ( G Fn A /\ X e. A ) ) -> ( ( F o. G )''' X ) = ( F''' ( G ` X ) ) )
50	26, 49	pm2.61ian 831	. 2 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( F o. G )''' X ) = ( F''' ( G ` X ) ) )
51		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> F = F )
52	4, 9	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( G Fn A -> ( X e. A -> X e. dom G ) )
53	52	imp 445	. . . . 5 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> X e. dom G )
54		fnfun 5988	. . . . . . 7 |- ( G Fn A -> Fun G )
55		funres 5929	. . . . . . 7 |- ( Fun G -> Fun ( G |` { X } ) )
56	54, 55	syl 17	. . . . . 6 |- ( G Fn A -> Fun ( G |` { X } ) )
57	56	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> Fun ( G |` { X } ) )
58		df-dfat 41196	. . . . . 6 |- ( G defAt X <-> ( X e. dom G /\ Fun ( G |` { X } ) ) )
59		afvfundmfveq 41218	. . . . . 6 |- ( G defAt X -> ( G''' X ) = ( G ` X ) )
60	58, 59	sylbir 225	. . . . 5 |- ( ( X e. dom G /\ Fun ( G |` { X } ) ) -> ( G''' X ) = ( G ` X ) )
61	53, 57, 60	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( G''' X ) = ( G ` X ) )
62	61	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( G ` X ) = ( G''' X ) )
63	51, 62	afveq12d 41213	. 2 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( F''' ( G ` X ) ) = ( F''' ( G''' X ) ) )
64	50, 63	eqtrd 2656	1 |- ( ( G Fn A /\ X e. A ) -> ( ( F o. G )''' X ) = ( F''' ( G''' X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   dom cdm 5114   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   defAt wdfat 41193  '''cafv 41194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-dfat 41196  df-afv 41197

This theorem is referenced by: (None)