Theorem dmfco 6272

Description: Domains of a function composition. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
dmfco	|- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` A ) e. dom F ) )

Proof of Theorem dmfco

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm2g 5320	. . . 4 |- ( A e. dom G -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y <. A , y >. e. ( F o. G ) ) )
2		vex 3203	. . . . . 6 |- y e. _V
3		opelco2g 5289	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom G /\ y e. _V ) -> ( <. A , y >. e. ( F o. G ) <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
4	2, 3	mpan2 707	. . . . 5 |- ( A e. dom G -> ( <. A , y >. e. ( F o. G ) <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
5	4	exbidv 1850	. . . 4 |- ( A e. dom G -> ( E. y <. A , y >. e. ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
6	1, 5	bitrd 268	. . 3 |- ( A e. dom G -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
7	6	adantl 482	. 2 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
8		fvex 6201	. . . 4 |- ( G ` A ) e. _V
9	8	eldm2 5322	. . 3 |- ( ( G ` A ) e. dom F <-> E. y <. ( G ` A ) , y >. e. F )
10		opeq1 4402	. . . . . . 7 |- ( x = ( G ` A ) -> <. x , y >. = <. ( G ` A ) , y >. )
11	10	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( x = ( G ` A ) -> ( <. x , y >. e. F <-> <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
12	8, 11	ceqsexv 3242	. . . . 5 |- ( E. x ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> <. ( G ` A ) , y >. e. F )
13		eqcom 2629	. . . . . . . 8 |- ( x = ( G ` A ) <-> ( G ` A ) = x )
14		funopfvb 6239	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( ( G ` A ) = x <-> <. A , x >. e. G ) )
15	13, 14	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( x = ( G ` A ) <-> <. A , x >. e. G ) )
16	15	anbi1d 741	. . . . . 6 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
17	16	exbidv 1850	. . . . 5 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( E. x ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
18	12, 17	syl5bbr 274	. . . 4 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( <. ( G ` A ) , y >. e. F <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
19	18	exbidv 1850	. . 3 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( E. y <. ( G ` A ) , y >. e. F <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
20	9, 19	syl5bb 272	. 2 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( ( G ` A ) e. dom F <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
21	7, 20	bitr4d 271	1 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` A ) e. dom F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   dom cdm 5114   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  hoicvr  40762  funressnfv  41208  dmfcoafv  41255  afvco2  41256