Theorem asclval 19335

Description: Value of a mapped algebra scalar. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclfval.a	|- A = (algSc ` W )
asclfval.f	|- F = (Scalar ` W )
asclfval.k	|- K = ( Base ` F )
asclfval.s	|- .x. = ( .s ` W )
asclfval.o	|- .1. = ( 1r ` W )

Assertion

Ref	Expression
asclval	|- ( X e. K -> ( A ` X ) = ( X .x. .1. ) )

Proof of Theorem asclval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. 2 |- ( x = X -> ( x .x. .1. ) = ( X .x. .1. ) )
2		asclfval.a	. . 3 |- A = (algSc ` W )
3		asclfval.f	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
4		asclfval.k	. . 3 |- K = ( Base ` F )
5		asclfval.s	. . 3 |- .x. = ( .s ` W )
6		asclfval.o	. . 3 |- .1. = ( 1r ` W )
7	2, 3, 4, 5, 6	asclfval 19334	. 2 |- A = ( x e. K |-> ( x .x. .1. ) )
8		ovex 6678	. 2 |- ( X .x. .1. ) e. _V
9	1, 7, 8	fvmpt 6282	1 |- ( X e. K -> ( A ` X ) = ( X .x. .1. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   1rcur 18501  algSccascl 19311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-slot 15861  df-base 15863  df-ascl 19314

This theorem is referenced by:  asclghm  19338  asclmul1  19339  asclmul2  19340  asclrhm  19342  mplascl  19496  ply1scltm  19651  ply1scl0  19660  ply1scl1  19662  lply1binomsc  19677  pmatcollpwscmatlem1  20594  cayhamlem2  20689  ascl0  42165  ascl1  42166  ply1sclrmsm  42171