Theorem axregndlem2 9425

Description: Lemma for the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
axregndlem2	|- ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )

Distinct variable group:   y, z

Proof of Theorem axregndlem2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axreg2 8498	. . . . . 6 |- ( w e. y -> E. w ( w e. y /\ A. z ( z e. w -> -. z e. y ) ) )
2	1	ax-gen 1722	. . . . 5 |- A. w ( w e. y -> E. w ( w e. y /\ A. z ( z e. w -> -. z e. y ) ) )
3		nfnae 2318	. . . . . . 7 |- F/ x -. A. x x = y
4		nfnae 2318	. . . . . . 7 |- F/ x -. A. x x = z
5	3, 4	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ x ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
6		nfcvd 2765	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ x w )
7		nfcvf 2788	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. x x = y -> F/_ x y )
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ x y )
9	6, 8	nfeld 2773	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x w e. y )
10		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ w ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
11		nfnae 2318	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z -. A. x x = y
12		nfnae 2318	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z -. A. x x = z
13	11, 12	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ z ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
14		nfcvf 2788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A. x x = z -> F/_ x z )
15	14	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ x z )
16	15, 6	nfeld 2773	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x z e. w )
17	15, 8	nfeld 2773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x z e. y )
18	17	nfnd 1785	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x -. z e. y )
19	16, 18	nfimd 1823	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x ( z e. w -> -. z e. y ) )
20	13, 19	nfald 2165	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x A. z ( z e. w -> -. z e. y ) )
21	9, 20	nfand 1826	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x ( w e. y /\ A. z ( z e. w -> -. z e. y ) ) )
22	10, 21	nfexd 2167	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x E. w ( w e. y /\ A. z ( z e. w -> -. z e. y ) ) )
23	9, 22	nfimd 1823	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x ( w e. y -> E. w ( w e. y /\ A. z ( z e. w -> -. z e. y ) ) ) )
24		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> w = x )
25	24	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( w e. y <-> x e. y ) )
26		nfcvd 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ z w )
27		nfcvf2 2789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. A. x x = z -> F/_ z x )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ z x )
29	26, 28	nfeqd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ z w = x )
30	13, 29	nfan1 2068	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ z ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x )
31	24	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( z e. w <-> z e. x ) )
32	31	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( ( z e. w -> -. z e. y ) <-> ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
33	30, 32	albid 2090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( A. z ( z e. w -> -. z e. y ) <-> A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
34	25, 33	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( ( w e. y /\ A. z ( z e. w -> -. z e. y ) ) <-> ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
35	34	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( w = x -> ( ( w e. y /\ A. z ( z e. w -> -. z e. y ) ) <-> ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) ) )
36	5, 21, 35	cbvexd 2278	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( E. w ( w e. y /\ A. z ( z e. w -> -. z e. y ) ) <-> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
37	36	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( E. w ( w e. y /\ A. z ( z e. w -> -. z e. y ) ) <-> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
38	25, 37	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( ( w e. y -> E. w ( w e. y /\ A. z ( z e. w -> -. z e. y ) ) ) <-> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) ) )
39	38	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( w = x -> ( ( w e. y -> E. w ( w e. y /\ A. z ( z e. w -> -. z e. y ) ) ) <-> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) ) ) )
40	5, 23, 39	cbvald 2277	. . . . 5 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( A. w ( w e. y -> E. w ( w e. y /\ A. z ( z e. w -> -. z e. y ) ) ) <-> A. x ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) ) )
41	2, 40	mpbii 223	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> A. x ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
42	41	19.21bi 2059	. . 3 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
43	42	ex 450	. 2 |- ( -. A. x x = y -> ( -. A. x x = z -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) ) )
44		elirrv 8504	. . . . 5 |- -. x e. x
45		elequ2 2004	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x e. x <-> x e. y ) )
46	44, 45	mtbii 316	. . . 4 |- ( x = y -> -. x e. y )
47	46	sps 2055	. . 3 |- ( A. x x = y -> -. x e. y )
48	47	pm2.21d 118	. 2 |- ( A. x x = y -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
49		axregndlem1 9424	. 2 |- ( A. x x = z -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
50	43, 48, 49	pm2.61ii 177	1 |- ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   F/_wnfc 2751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180

This theorem is referenced by:  axregnd  9426