Theorem axtgeucl 25371

Description: Euclid's Axiom. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. This is equivalent to Euclid's parallel postulate when combined with other axioms. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
axtrkge.p	|- P = ( Base ` G )
axtrkge.d	|- .- = ( dist ` G )
axtrkge.i	|- I = (Itv ` G )
axtgeucl.g	|- ( ph -> G e. TarskiGE )
axtgeucl.1	|- ( ph -> X e. P )
axtgeucl.2	|- ( ph -> Y e. P )
axtgeucl.3	|- ( ph -> Z e. P )
axtgeucl.4	|- ( ph -> U e. P )
axtgeucl.5	|- ( ph -> V e. P )
axtgeucl.6	|- ( ph -> U e. ( X I V ) )
axtgeucl.7	|- ( ph -> U e. ( Y I Z ) )
axtgeucl.8	|- ( ph -> X =/= U )

Assertion

Ref	Expression
axtgeucl	|- ( ph -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ V e. ( a I b ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, I   P, a, b   V, a, b   U, a, b   X, a, b   Y, a, b   Z, a, b   .- , a, b

Allowed substitution hints:   ph( a, b)   G( a, b)

Proof of Theorem axtgeucl

Dummy variables v u x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axtgeucl.6	. 2 |- ( ph -> U e. ( X I V ) )
2		axtgeucl.7	. 2 |- ( ph -> U e. ( Y I Z ) )
3		axtgeucl.8	. 2 |- ( ph -> X =/= U )
4		axtgeucl.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. TarskiGE )
5		axtrkge.p	. . . . . . 7 |- P = ( Base ` G )
6		axtrkge.d	. . . . . . 7 |- .- = ( dist ` G )
7		axtrkge.i	. . . . . . 7 |- I = (Itv ` G )
8	5, 6, 7	istrkge 25356	. . . . . 6 |- ( G e. TarskiGE <-> ( G e. _V /\ A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) ) )
9	4, 8	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> ( G e. _V /\ A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) ) )
10	9	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) )
11		axtgeucl.1	. . . . 5 |- ( ph -> X e. P )
12		axtgeucl.2	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. P )
13		axtgeucl.3	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. P )
14		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( x I v ) = ( X I v ) )
15	14	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( u e. ( x I v ) <-> u e. ( X I v ) ) )
16		neeq1 2856	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( x =/= u <-> X =/= u ) )
17	15, 16	3anbi13d 1401	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( ( u e. ( x I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ x =/= u ) <-> ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ X =/= u ) ) )
18		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( x I a ) = ( X I a ) )
19	18	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( y e. ( x I a ) <-> y e. ( X I a ) ) )
20		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( x I b ) = ( X I b ) )
21	20	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( z e. ( x I b ) <-> z e. ( X I b ) ) )
22	19, 21	3anbi12d 1400	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) <-> ( y e. ( X I a ) /\ z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) )
23	22	2rexbidv 3057	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( E. a e. P E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) <-> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( X I a ) /\ z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) )
24	17, 23	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( ( ( u e. ( x I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) <-> ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ X =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( X I a ) /\ z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) ) )
25	24	2ralbidv 2989	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) <-> A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ X =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( X I a ) /\ z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) ) )
26		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( y = Y -> ( y I z ) = ( Y I z ) )
27	26	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( y = Y -> ( u e. ( y I z ) <-> u e. ( Y I z ) ) )
28	27	3anbi2d 1404	. . . . . . . 8 |- ( y = Y -> ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ X =/= u ) <-> ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( Y I z ) /\ X =/= u ) ) )
29		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( y = Y -> ( y e. ( X I a ) <-> Y e. ( X I a ) ) )
30	29	3anbi1d 1403	. . . . . . . . 9 |- ( y = Y -> ( ( y e. ( X I a ) /\ z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) <-> ( Y e. ( X I a ) /\ z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) )
31	30	2rexbidv 3057	. . . . . . . 8 |- ( y = Y -> ( E. a e. P E. b e. P ( y e. ( X I a ) /\ z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) <-> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) )
32	28, 31	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( y = Y -> ( ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ X =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( X I a ) /\ z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) <-> ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( Y I z ) /\ X =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) ) )
33	32	2ralbidv 2989	. . . . . 6 |- ( y = Y -> ( A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ X =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( X I a ) /\ z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) <-> A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( Y I z ) /\ X =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) ) )
34		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( z = Z -> ( Y I z ) = ( Y I Z ) )
35	34	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( z = Z -> ( u e. ( Y I z ) <-> u e. ( Y I Z ) ) )
36	35	3anbi2d 1404	. . . . . . . 8 |- ( z = Z -> ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( Y I z ) /\ X =/= u ) <-> ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( Y I Z ) /\ X =/= u ) ) )
37		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( z = Z -> ( z e. ( X I b ) <-> Z e. ( X I b ) ) )
38	37	3anbi2d 1404	. . . . . . . . 9 |- ( z = Z -> ( ( Y e. ( X I a ) /\ z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) <-> ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) )
39	38	2rexbidv 3057	. . . . . . . 8 |- ( z = Z -> ( E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) <-> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) )
40	36, 39	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( z = Z -> ( ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( Y I z ) /\ X =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) <-> ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( Y I Z ) /\ X =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) ) )
41	40	2ralbidv 2989	. . . . . 6 |- ( z = Z -> ( A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( Y I z ) /\ X =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) <-> A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( Y I Z ) /\ X =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) ) )
42	25, 33, 41	rspc3v 3325	. . . . 5 |- ( ( X e. P /\ Y e. P /\ Z e. P ) -> ( A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) -> A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( Y I Z ) /\ X =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) ) )
43	11, 12, 13, 42	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) -> A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( Y I Z ) /\ X =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) ) )
44	10, 43	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( Y I Z ) /\ X =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) )
45		axtgeucl.4	. . . 4 |- ( ph -> U e. P )
46		axtgeucl.5	. . . 4 |- ( ph -> V e. P )
47		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( u e. ( X I v ) <-> U e. ( X I v ) ) )
48		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( u e. ( Y I Z ) <-> U e. ( Y I Z ) ) )
49		neeq2 2857	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( X =/= u <-> X =/= U ) )
50	47, 48, 49	3anbi123d 1399	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( Y I Z ) /\ X =/= u ) <-> ( U e. ( X I v ) /\ U e. ( Y I Z ) /\ X =/= U ) ) )
51	50	imbi1d 331	. . . . 5 |- ( u = U -> ( ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( Y I Z ) /\ X =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) <-> ( ( U e. ( X I v ) /\ U e. ( Y I Z ) /\ X =/= U ) -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) ) )
52		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> ( X I v ) = ( X I V ) )
53	52	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( U e. ( X I v ) <-> U e. ( X I V ) ) )
54	53	3anbi1d 1403	. . . . . 6 |- ( v = V -> ( ( U e. ( X I v ) /\ U e. ( Y I Z ) /\ X =/= U ) <-> ( U e. ( X I V ) /\ U e. ( Y I Z ) /\ X =/= U ) ) )
55		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> ( v e. ( a I b ) <-> V e. ( a I b ) ) )
56	55	3anbi3d 1405	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) <-> ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ V e. ( a I b ) ) ) )
57	56	2rexbidv 3057	. . . . . 6 |- ( v = V -> ( E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) <-> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ V e. ( a I b ) ) ) )
58	54, 57	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( v = V -> ( ( ( U e. ( X I v ) /\ U e. ( Y I Z ) /\ X =/= U ) -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) <-> ( ( U e. ( X I V ) /\ U e. ( Y I Z ) /\ X =/= U ) -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ V e. ( a I b ) ) ) ) )
59	51, 58	rspc2v 3322	. . . 4 |- ( ( U e. P /\ V e. P ) -> ( A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( Y I Z ) /\ X =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) -> ( ( U e. ( X I V ) /\ U e. ( Y I Z ) /\ X =/= U ) -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ V e. ( a I b ) ) ) ) )
60	45, 46, 59	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I v ) /\ u e. ( Y I Z ) /\ X =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) -> ( ( U e. ( X I V ) /\ U e. ( Y I Z ) /\ X =/= U ) -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ V e. ( a I b ) ) ) ) )
61	44, 60	mpd 15	. 2 |- ( ph -> ( ( U e. ( X I V ) /\ U e. ( Y I Z ) /\ X =/= U ) -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ V e. ( a I b ) ) ) )
62	1, 2, 3, 61	mp3and 1427	1 |- ( ph -> E. a e. P E. b e. P ( Y e. ( X I a ) /\ Z e. ( X I b ) /\ V e. ( a I b ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiG_Ecstrkge 25334  Itvcitv 25335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-trkge 25350

This theorem is referenced by:  f1otrge  25752