Theorem istrkge 25356

Description: Property of fulfilling Euclid's axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
istrkg.p	|- P = ( Base ` G )
istrkg.d	|- .- = ( dist ` G )
istrkg.i	|- I = (Itv ` G )

Assertion

Ref	Expression
istrkge	|- ( G e. TarskiGE <-> ( G e. _V /\ A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, u, v, x, y, z, I   P, a, b, u, v, x, y, z   .- , a, b, u, v, x, y, z

Allowed substitution hints:   G( x, y, z, v, u, a, b)

Proof of Theorem istrkge

Dummy variables f i p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istrkg.p	. . 3 |- P = ( Base ` G )
2		istrkg.i	. . 3 |- I = (Itv ` G )
3		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> p = P )
4	3	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> P = p )
5	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) -> P = p )
6	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) -> P = p )
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) -> P = p )
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) -> P = p )
9		simp-6r 811	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) -> i = I )
10	9	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) -> I = i )
11	10	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) -> ( x I v ) = ( x i v ) )
12	11	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) -> ( u e. ( x I v ) <-> u e. ( x i v ) ) )
13	10	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) -> ( y I z ) = ( y i z ) )
14	13	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) -> ( u e. ( y I z ) <-> u e. ( y i z ) ) )
15	12, 14	3anbi12d 1400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) -> ( ( u e. ( x I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ x =/= u ) <-> ( u e. ( x i v ) /\ u e. ( y i z ) /\ x =/= u ) ) )
16	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) -> P = p )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ a e. P ) -> P = p )
18	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) -> i = I )
19	18	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) -> I = i )
20	19	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) -> ( x I a ) = ( x i a ) )
21	20	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) -> ( y e. ( x I a ) <-> y e. ( x i a ) ) )
22	19	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) -> ( x I b ) = ( x i b ) )
23	22	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) -> ( z e. ( x I b ) <-> z e. ( x i b ) ) )
24	19	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) -> ( a I b ) = ( a i b ) )
25	24	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) -> ( v e. ( a I b ) <-> v e. ( a i b ) ) )
26	21, 23, 25	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) -> ( ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) <-> ( y e. ( x i a ) /\ z e. ( x i b ) /\ v e. ( a i b ) ) ) )
27	17, 26	rexeqbidva 3155	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ a e. P ) -> ( E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) <-> E. b e. p ( y e. ( x i a ) /\ z e. ( x i b ) /\ v e. ( a i b ) ) ) )
28	16, 27	rexeqbidva 3155	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) -> ( E. a e. P E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) <-> E. a e. p E. b e. p ( y e. ( x i a ) /\ z e. ( x i b ) /\ v e. ( a i b ) ) ) )
29	15, 28	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) -> ( ( ( u e. ( x I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) <-> ( ( u e. ( x i v ) /\ u e. ( y i z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. p E. b e. p ( y e. ( x i a ) /\ z e. ( x i b ) /\ v e. ( a i b ) ) ) ) )
30	8, 29	raleqbidva 3154	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) /\ u e. P ) -> ( A. v e. P ( ( u e. ( x I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) <-> A. v e. p ( ( u e. ( x i v ) /\ u e. ( y i z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. p E. b e. p ( y e. ( x i a ) /\ z e. ( x i b ) /\ v e. ( a i b ) ) ) ) )
31	7, 30	raleqbidva 3154	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) -> ( A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) <-> A. u e. p A. v e. p ( ( u e. ( x i v ) /\ u e. ( y i z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. p E. b e. p ( y e. ( x i a ) /\ z e. ( x i b ) /\ v e. ( a i b ) ) ) ) )
32	6, 31	raleqbidva 3154	. . . . 5 |- ( ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) -> ( A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) <-> A. z e. p A. u e. p A. v e. p ( ( u e. ( x i v ) /\ u e. ( y i z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. p E. b e. p ( y e. ( x i a ) /\ z e. ( x i b ) /\ v e. ( a i b ) ) ) ) )
33	5, 32	raleqbidva 3154	. . . 4 |- ( ( ( p = P /\ i = I ) /\ x e. P ) -> ( A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) <-> A. y e. p A. z e. p A. u e. p A. v e. p ( ( u e. ( x i v ) /\ u e. ( y i z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. p E. b e. p ( y e. ( x i a ) /\ z e. ( x i b ) /\ v e. ( a i b ) ) ) ) )
34	4, 33	raleqbidva 3154	. . 3 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) <-> A. x e. p A. y e. p A. z e. p A. u e. p A. v e. p ( ( u e. ( x i v ) /\ u e. ( y i z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. p E. b e. p ( y e. ( x i a ) /\ z e. ( x i b ) /\ v e. ( a i b ) ) ) ) )
35	1, 2, 34	sbcie2s 15916	. 2 |- ( f = G -> ( [. ( Base ` f ) / p ]. [. (Itv ` f ) / i ]. A. x e. p A. y e. p A. z e. p A. u e. p A. v e. p ( ( u e. ( x i v ) /\ u e. ( y i z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. p E. b e. p ( y e. ( x i a ) /\ z e. ( x i b ) /\ v e. ( a i b ) ) ) <-> A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) ) )
36		df-trkge 25350	. 2 |- TarskiGE = { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. (Itv ` f ) / i ]. A. x e. p A. y e. p A. z e. p A. u e. p A. v e. p ( ( u e. ( x i v ) /\ u e. ( y i z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. p E. b e. p ( y e. ( x i a ) /\ z e. ( x i b ) /\ v e. ( a i b ) ) ) }
37	35, 36	elab4g 3355	1 |- ( G e. TarskiGE <-> ( G e. _V /\ A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I v ) /\ u e. ( y I z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. P E. b e. P ( y e. ( x I a ) /\ z e. ( x I b ) /\ v e. ( a I b ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiG_Ecstrkge 25334  Itvcitv 25335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-trkge 25350

This theorem is referenced by:  axtgeucl  25371  f1otrge  25752  eengtrkge  25866