Theorem bnj110 30928

Description: Well-founded induction restricted to a set ( A e. _V). The proof has been taken from Chapter 4 of Don Monk's notes on Set Theory. See http://euclid.colorado.edu/~monkd/setth.pdf. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj110.1	|- A e. _V
bnj110.2	|- ( ps <-> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ph ) )

Assertion

Ref	Expression
bnj110	|- ( ( R Fr A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) -> A. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, R, y   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)

Proof of Theorem bnj110

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralnex 2992	. . . . 5 |- ( A. z e. { x e. A | -. ph } -. [. z / x ]. ph <-> -. E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ph )
2		vex 3203	. . . . . . . 8 |- z e. _V
3		sbcng 3476	. . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( [. z / x ]. -. ph <-> -. [. z / x ]. ph ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( [. z / x ]. -. ph <-> -. [. z / x ]. ph )
5	4	bicomi 214	. . . . . 6 |- ( -. [. z / x ]. ph <-> [. z / x ]. -. ph )
6	5	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. z e. { x e. A | -. ph } -. [. z / x ]. ph <-> A. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. -. ph )
7	1, 6	bitr3i 266	. . . 4 |- ( -. E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ph <-> A. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. -. ph )
8		df-rab 2921	. . . . . . 7 |- { x e. A | -. ph } = { x | ( x e. A /\ -. ph ) }
9	8	eleq2i 2693	. . . . . 6 |- ( z e. { x e. A | -. ph } <-> z e. { x | ( x e. A /\ -. ph ) } )
10		df-sbc 3436	. . . . . . 7 |- ( [. z / x ]. ( x e. A /\ -. ph ) <-> z e. { x | ( x e. A /\ -. ph ) } )
11		sbcan 3478	. . . . . . . 8 |- ( [. z / x ]. ( x e. A /\ -. ph ) <-> ( [. z / x ]. x e. A /\ [. z / x ]. -. ph ) )
12		sbcel1v 3495	. . . . . . . . 9 |- ( [. z / x ]. x e. A <-> z e. A )
13	12	anbi1i 731	. . . . . . . 8 |- ( ( [. z / x ]. x e. A /\ [. z / x ]. -. ph ) <-> ( z e. A /\ [. z / x ]. -. ph ) )
14	11, 13	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( [. z / x ]. ( x e. A /\ -. ph ) <-> ( z e. A /\ [. z / x ]. -. ph ) )
15	10, 14	bitr3i 266	. . . . . 6 |- ( z e. { x | ( x e. A /\ -. ph ) } <-> ( z e. A /\ [. z / x ]. -. ph ) )
16	9, 15	bitri 264	. . . . 5 |- ( z e. { x e. A | -. ph } <-> ( z e. A /\ [. z / x ]. -. ph ) )
17	16	simprbi 480	. . . 4 |- ( z e. { x e. A | -. ph } -> [. z / x ]. -. ph )
18	7, 17	mprgbir 2927	. . 3 |- -. E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ph
19		bnj110.1	. . . . . . . . 9 |- A e. _V
20	19	rabex 4813	. . . . . . . 8 |- { x e. A | -. ph } e. _V
21	20	biantrur 527	. . . . . . 7 |- ( R Fr A <-> ( { x e. A | -. ph } e. _V /\ R Fr A ) )
22		rexnal 2995	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A -. ph <-> -. A. x e. A ph )
23		rabn0 3958	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. A | -. ph } =/= (/) <-> E. x e. A -. ph )
24		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { x e. A | -. ph } C_ A
25	24	biantrur 527	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. A | -. ph } =/= (/) <-> ( { x e. A | -. ph } C_ A /\ { x e. A | -. ph } =/= (/) ) )
26	23, 25	bitr3i 266	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A -. ph <-> ( { x e. A | -. ph } C_ A /\ { x e. A | -. ph } =/= (/) ) )
27	22, 26	bitr3i 266	. . . . . . 7 |- ( -. A. x e. A ph <-> ( { x e. A | -. ph } C_ A /\ { x e. A | -. ph } =/= (/) ) )
28		fri 5076	. . . . . . 7 |- ( ( ( { x e. A | -. ph } e. _V /\ R Fr A ) /\ ( { x e. A | -. ph } C_ A /\ { x e. A | -. ph } =/= (/) ) ) -> E. z e. { x e. A | -. ph } A. w e. { x e. A | -. ph } -. w R z )
29	21, 27, 28	syl2anb 496	. . . . . 6 |- ( ( R Fr A /\ -. A. x e. A ph ) -> E. z e. { x e. A | -. ph } A. w e. { x e. A | -. ph } -. w R z )
30		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { x e. A | -. ph } = { x e. A | -. ph }
31	30	bnj23 30784	. . . . . . 7 |- ( A. w e. { x e. A | -. ph } -. w R z -> A. y e. A ( y R z -> [. y / x ]. ph ) )
32		df-ral 2917	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ph ) <-> A. y ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) )
33	32	sbcbii 3491	. . . . . . . . 9 |- ( [. z / x ]. A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ph ) <-> [. z / x ]. A. y ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) )
34		sbcal 3485	. . . . . . . . . 10 |- ( [. z / x ]. A. y ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) <-> A. y [. z / x ]. ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) )
35		sbcimg 3477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. _V -> ( [. z / x ]. ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) <-> ( [. z / x ]. y e. A -> [. z / x ]. ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) ) )
36	2, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [. z / x ]. ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) <-> ( [. z / x ]. y e. A -> [. z / x ]. ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) )
37		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x y e. A
38	37	sbcgf 3501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. _V -> ( [. z / x ]. y e. A <-> y e. A ) )
39	2, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. z / x ]. y e. A <-> y e. A )
40		sbcimg 3477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. _V -> ( [. z / x ]. ( y R x -> [. y / x ]. ph ) <-> ( [. z / x ]. y R x -> [. z / x ]. [. y / x ]. ph ) ) )
41	2, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. z / x ]. ( y R x -> [. y / x ]. ph ) <-> ( [. z / x ]. y R x -> [. z / x ]. [. y / x ]. ph ) )
42		sbcbr2g 4710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. _V -> ( [. z / x ]. y R x <-> y R [_ z / x ]_ x ) )
43	2, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. z / x ]. y R x <-> y R [_ z / x ]_ x )
44		csbvarg 4003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. _V -> [_ z / x ]_ x = z )
45	2, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [_ z / x ]_ x = z
46	45	breq2i 4661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y R [_ z / x ]_ x <-> y R z )
47	43, 46	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. z / x ]. y R x <-> y R z )
48		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x [. y / x ]. ph
49	48	sbcgf 3501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. _V -> ( [. z / x ]. [. y / x ]. ph <-> [. y / x ]. ph ) )
50	2, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. z / x ]. [. y / x ]. ph <-> [. y / x ]. ph )
51	47, 50	imbi12i 340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( [. z / x ]. y R x -> [. z / x ]. [. y / x ]. ph ) <-> ( y R z -> [. y / x ]. ph ) )
52	41, 51	bitri 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. z / x ]. ( y R x -> [. y / x ]. ph ) <-> ( y R z -> [. y / x ]. ph ) )
53	39, 52	imbi12i 340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [. z / x ]. y e. A -> [. z / x ]. ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) <-> ( y e. A -> ( y R z -> [. y / x ]. ph ) ) )
54	36, 53	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( [. z / x ]. ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) <-> ( y e. A -> ( y R z -> [. y / x ]. ph ) ) )
55	54	albii 1747	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y [. z / x ]. ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) <-> A. y ( y e. A -> ( y R z -> [. y / x ]. ph ) ) )
56	34, 55	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( [. z / x ]. A. y ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) <-> A. y ( y e. A -> ( y R z -> [. y / x ]. ph ) ) )
57	33, 56	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( [. z / x ]. A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ph ) <-> A. y ( y e. A -> ( y R z -> [. y / x ]. ph ) ) )
58		bnj110.2	. . . . . . . . 9 |- ( ps <-> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ph ) )
59	58	sbcbii 3491	. . . . . . . 8 |- ( [. z / x ]. ps <-> [. z / x ]. A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ph ) )
60		df-ral 2917	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A ( y R z -> [. y / x ]. ph ) <-> A. y ( y e. A -> ( y R z -> [. y / x ]. ph ) ) )
61	57, 59, 60	3bitr4i 292	. . . . . . 7 |- ( [. z / x ]. ps <-> A. y e. A ( y R z -> [. y / x ]. ph ) )
62	31, 61	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( A. w e. { x e. A | -. ph } -. w R z -> [. z / x ]. ps )
63	29, 62	bnj31 30785	. . . . 5 |- ( ( R Fr A /\ -. A. x e. A ph ) -> E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ps )
64		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ z ( ps -> ph )
65		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. z / x ]. ps
66		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. z / x ]. ph
67	65, 66	nfim 1825	. . . . . . . 8 |- F/ x ( [. z / x ]. ps -> [. z / x ]. ph )
68		sbceq1a 3446	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ps <-> [. z / x ]. ps ) )
69		sbceq1a 3446	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ph <-> [. z / x ]. ph ) )
70	68, 69	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( ps -> ph ) <-> ( [. z / x ]. ps -> [. z / x ]. ph ) ) )
71	64, 67, 70	cbvral 3167	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( ps -> ph ) <-> A. z e. A ( [. z / x ]. ps -> [. z / x ]. ph ) )
72		elrabi 3359	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { x e. A | -. ph } -> z e. A )
73	72	imim1i 63	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. A -> ( [. z / x ]. ps -> [. z / x ]. ph ) ) -> ( z e. { x e. A | -. ph } -> ( [. z / x ]. ps -> [. z / x ]. ph ) ) )
74	73	ralimi2 2949	. . . . . . 7 |- ( A. z e. A ( [. z / x ]. ps -> [. z / x ]. ph ) -> A. z e. { x e. A | -. ph } ( [. z / x ]. ps -> [. z / x ]. ph ) )
75	71, 74	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( ps -> ph ) -> A. z e. { x e. A | -. ph } ( [. z / x ]. ps -> [. z / x ]. ph ) )
76		rexim 3008	. . . . . 6 |- ( A. z e. { x e. A | -. ph } ( [. z / x ]. ps -> [. z / x ]. ph ) -> ( E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ps -> E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ph ) )
77	75, 76	syl 17	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( ps -> ph ) -> ( E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ps -> E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ph ) )
78	63, 77	mpan9 486	. . . 4 |- ( ( ( R Fr A /\ -. A. x e. A ph ) /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) -> E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ph )
79	78	an32s 846	. . 3 |- ( ( ( R Fr A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) /\ -. A. x e. A ph ) -> E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ph )
80	18, 79	mto 188	. 2 |- -. ( ( R Fr A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) /\ -. A. x e. A ph )
81		iman 440	. 2 |- ( ( ( R Fr A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) -> A. x e. A ph ) <-> -. ( ( R Fr A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) /\ -. A. x e. A ph ) )
82	80, 81	mpbir 221	1 |- ( ( R Fr A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) -> A. x e. A ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   [_csb 3533   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Fr wfr 5070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-fr 5073

This theorem is referenced by:  bnj157  30929  bnj580  30983  bnj1052  31043  bnj1030  31055  bnj1133  31057