Theorem brfae 30311

Description: 'almost everywhere' relation for two functions F and G with regard to the measure M. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
brfae.0	|- dom R = D
brfae.1	|- ( ph -> R e. _V )
brfae.2	|- ( ph -> M e. U. ran measures )
brfae.3	|- ( ph -> F e. ( D ^m U. dom M ) )
brfae.4	|- ( ph -> G e. ( D ^m U. dom M ) )

Assertion

Ref	Expression
brfae	|- ( ph -> ( F ( R~ a.e. M ) G <-> { x e. U. dom M | ( F ` x ) R ( G ` x ) }a.e. M ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, G   x, M   x, R

Allowed substitution hints:   ph( x)   D( x)

Proof of Theorem brfae

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brfae.3	. . 3 |- ( ph -> F e. ( D ^m U. dom M ) )
2		brfae.4	. . 3 |- ( ph -> G e. ( D ^m U. dom M ) )
3		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> f = F )
4	3	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( f e. ( dom R ^m U. dom M ) <-> F e. ( dom R ^m U. dom M ) ) )
5		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> g = G )
6	5	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( g e. ( dom R ^m U. dom M ) <-> G e. ( dom R ^m U. dom M ) ) )
7	4, 6	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( ( f e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ g e. ( dom R ^m U. dom M ) ) <-> ( F e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ G e. ( dom R ^m U. dom M ) ) ) )
8	3	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
9	5	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( g ` x ) = ( G ` x ) )
10	8, 9	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( ( f ` x ) R ( g ` x ) <-> ( F ` x ) R ( G ` x ) ) )
11	10	rabbidv 3189	. . . . . 6 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> { x e. U. dom M | ( f ` x ) R ( g ` x ) } = { x e. U. dom M | ( F ` x ) R ( G ` x ) } )
12	11	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( { x e. U. dom M | ( f ` x ) R ( g ` x ) }a.e. M <-> { x e. U. dom M | ( F ` x ) R ( G ` x ) }a.e. M ) )
13	7, 12	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ( f = F /\ g = G ) -> ( ( ( f e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ g e. ( dom R ^m U. dom M ) ) /\ { x e. U. dom M | ( f ` x ) R ( g ` x ) }a.e. M ) <-> ( ( F e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ G e. ( dom R ^m U. dom M ) ) /\ { x e. U. dom M | ( F ` x ) R ( G ` x ) }a.e. M ) ) )
14		eqid 2622	. . . 4 |- { <. f , g >. | ( ( f e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ g e. ( dom R ^m U. dom M ) ) /\ { x e. U. dom M | ( f ` x ) R ( g ` x ) }a.e. M ) } = { <. f , g >. | ( ( f e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ g e. ( dom R ^m U. dom M ) ) /\ { x e. U. dom M | ( f ` x ) R ( g ` x ) }a.e. M ) }
15	13, 14	brabga 4989	. . 3 |- ( ( F e. ( D ^m U. dom M ) /\ G e. ( D ^m U. dom M ) ) -> ( F { <. f , g >. | ( ( f e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ g e. ( dom R ^m U. dom M ) ) /\ { x e. U. dom M | ( f ` x ) R ( g ` x ) }a.e. M ) } G <-> ( ( F e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ G e. ( dom R ^m U. dom M ) ) /\ { x e. U. dom M | ( F ` x ) R ( G ` x ) }a.e. M ) ) )
16	1, 2, 15	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( F { <. f , g >. | ( ( f e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ g e. ( dom R ^m U. dom M ) ) /\ { x e. U. dom M | ( f ` x ) R ( g ` x ) }a.e. M ) } G <-> ( ( F e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ G e. ( dom R ^m U. dom M ) ) /\ { x e. U. dom M | ( F ` x ) R ( G ` x ) }a.e. M ) ) )
17		brfae.1	. . . 4 |- ( ph -> R e. _V )
18		brfae.2	. . . 4 |- ( ph -> M e. U. ran measures )
19		faeval 30309	. . . 4 |- ( ( R e. _V /\ M e. U. ran measures ) -> ( R~ a.e. M ) = { <. f , g >. | ( ( f e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ g e. ( dom R ^m U. dom M ) ) /\ { x e. U. dom M | ( f ` x ) R ( g ` x ) }a.e. M ) } )
20	17, 18, 19	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( R~ a.e. M ) = { <. f , g >. | ( ( f e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ g e. ( dom R ^m U. dom M ) ) /\ { x e. U. dom M | ( f ` x ) R ( g ` x ) }a.e. M ) } )
21	20	breqd 4664	. 2 |- ( ph -> ( F ( R~ a.e. M ) G <-> F { <. f , g >. | ( ( f e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ g e. ( dom R ^m U. dom M ) ) /\ { x e. U. dom M | ( f ` x ) R ( g ` x ) }a.e. M ) } G ) )
22		brfae.0	. . . . . 6 |- dom R = D
23	22	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( dom R ^m U. dom M ) = ( D ^m U. dom M )
24	1, 23	syl6eleqr 2712	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( dom R ^m U. dom M ) )
25	2, 23	syl6eleqr 2712	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( dom R ^m U. dom M ) )
26	24, 25	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ G e. ( dom R ^m U. dom M ) ) )
27	26	biantrurd 529	. 2 |- ( ph -> ( { x e. U. dom M | ( F ` x ) R ( G ` x ) }a.e. M <-> ( ( F e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ G e. ( dom R ^m U. dom M ) ) /\ { x e. U. dom M | ( F ` x ) R ( G ` x ) }a.e. M ) ) )
28	16, 21, 27	3bitr4d 300	1 |- ( ph -> ( F ( R~ a.e. M ) G <-> { x e. U. dom M | ( F ` x ) R ( G ` x ) }a.e. M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   {copab 4712   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857  measurescmeas 30258  a.e.cae 30300  ~ a.e.cfae 30301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fae 30308

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