Theorem faeval 30309

Description: Value of the 'almost everywhere' relation for a given relation and measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
faeval	|- ( ( R e. _V /\ M e. U. ran measures ) -> ( R~ a.e. M ) = { <. f , g >. | ( ( f e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ g e. ( dom R ^m U. dom M ) ) /\ { x e. U. dom M | ( f ` x ) R ( g ` x ) }a.e. M ) } )

Distinct variable groups:   f, g, x, M   R, f, g, x

Proof of Theorem faeval

Dummy variables m r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( r = R /\ m = M ) -> r = R )
2	1	dmeqd 5326	. . . . . . 7 |- ( ( r = R /\ m = M ) -> dom r = dom R )
3		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( r = R /\ m = M ) -> m = M )
4	3	dmeqd 5326	. . . . . . . 8 |- ( ( r = R /\ m = M ) -> dom m = dom M )
5	4	unieqd 4446	. . . . . . 7 |- ( ( r = R /\ m = M ) -> U. dom m = U. dom M )
6	2, 5	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ m = M ) -> ( dom r ^m U. dom m ) = ( dom R ^m U. dom M ) )
7	6	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ m = M ) -> ( f e. ( dom r ^m U. dom m ) <-> f e. ( dom R ^m U. dom M ) ) )
8	6	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ m = M ) -> ( g e. ( dom r ^m U. dom m ) <-> g e. ( dom R ^m U. dom M ) ) )
9	7, 8	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ( r = R /\ m = M ) -> ( ( f e. ( dom r ^m U. dom m ) /\ g e. ( dom r ^m U. dom m ) ) <-> ( f e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ g e. ( dom R ^m U. dom M ) ) ) )
10	1	breqd 4664	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ m = M ) -> ( ( f ` x ) r ( g ` x ) <-> ( f ` x ) R ( g ` x ) ) )
11	5, 10	rabeqbidv 3195	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ m = M ) -> { x e. U. dom m | ( f ` x ) r ( g ` x ) } = { x e. U. dom M | ( f ` x ) R ( g ` x ) } )
12	11, 3	breq12d 4666	. . . 4 |- ( ( r = R /\ m = M ) -> ( { x e. U. dom m | ( f ` x ) r ( g ` x ) }a.e. m <-> { x e. U. dom M | ( f ` x ) R ( g ` x ) }a.e. M ) )
13	9, 12	anbi12d 747	. . 3 |- ( ( r = R /\ m = M ) -> ( ( ( f e. ( dom r ^m U. dom m ) /\ g e. ( dom r ^m U. dom m ) ) /\ { x e. U. dom m | ( f ` x ) r ( g ` x ) }a.e. m ) <-> ( ( f e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ g e. ( dom R ^m U. dom M ) ) /\ { x e. U. dom M | ( f ` x ) R ( g ` x ) }a.e. M ) ) )
14	13	opabbidv 4716	. 2 |- ( ( r = R /\ m = M ) -> { <. f , g >. | ( ( f e. ( dom r ^m U. dom m ) /\ g e. ( dom r ^m U. dom m ) ) /\ { x e. U. dom m | ( f ` x ) r ( g ` x ) }a.e. m ) } = { <. f , g >. | ( ( f e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ g e. ( dom R ^m U. dom M ) ) /\ { x e. U. dom M | ( f ` x ) R ( g ` x ) }a.e. M ) } )
15		df-fae 30308	. 2 |- ~ a.e. = ( r e. _V , m e. U. ran measures |-> { <. f , g >. | ( ( f e. ( dom r ^m U. dom m ) /\ g e. ( dom r ^m U. dom m ) ) /\ { x e. U. dom m | ( f ` x ) r ( g ` x ) }a.e. m ) } )
16		ovex 6678	. . . 4 |- ( dom R ^m U. dom M ) e. _V
17	16, 16	xpex 6962	. . 3 |- ( ( dom R ^m U. dom M ) X. ( dom R ^m U. dom M ) ) e. _V
18		opabssxp 5193	. . 3 |- { <. f , g >. | ( ( f e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ g e. ( dom R ^m U. dom M ) ) /\ { x e. U. dom M | ( f ` x ) R ( g ` x ) }a.e. M ) } C_ ( ( dom R ^m U. dom M ) X. ( dom R ^m U. dom M ) )
19	17, 18	ssexi 4803	. 2 |- { <. f , g >. | ( ( f e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ g e. ( dom R ^m U. dom M ) ) /\ { x e. U. dom M | ( f ` x ) R ( g ` x ) }a.e. M ) } e. _V
20	14, 15, 19	ovmpt2a 6791	1 |- ( ( R e. _V /\ M e. U. ran measures ) -> ( R~ a.e. M ) = { <. f , g >. | ( ( f e. ( dom R ^m U. dom M ) /\ g e. ( dom R ^m U. dom M ) ) /\ { x e. U. dom M | ( f ` x ) R ( g ` x ) }a.e. M ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   {copab 4712   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857  measurescmeas 30258  a.e.cae 30300  ~ a.e.cfae 30301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fae 30308

This theorem is referenced by:  relfae  30310  brfae  30311