Theorem cbvprod 14645

Description: Change bound variable in a product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvprod.1	|- ( j = k -> B = C )
cbvprod.2	|- F/_ k A
cbvprod.3	|- F/_ j A
cbvprod.4	|- F/_ k B
cbvprod.5	|- F/_ j C

Assertion

Ref	Expression
cbvprod	|- prod_ j e. A B = prod_ k e. A C

Distinct variable group:   j, k

Allowed substitution hints:   A( j, k)   B( j, k)   C( j, k)

Proof of Theorem cbvprod

Dummy variables f m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 251	. . . . . 6 |- ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
2		cbvprod.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k A
3	2	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k j e. A
4		cbvprod.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k B
5		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k 1
6	3, 4, 5	nfif 4115	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k if ( j e. A , B , 1 )
7		cbvprod.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j A
8	7	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j k e. A
9		cbvprod.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j C
10		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j 1
11	8, 9, 10	nfif 4115	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ j if ( k e. A , C , 1 )
12		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
13		cbvprod.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = k -> B = C )
14	12, 13	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> if ( j e. A , B , 1 ) = if ( k e. A , C , 1 ) )
15	6, 11, 14	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) )
16		seqeq3 12806	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) -> seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) = seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) = seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) )
18	17	breq1i 4660	. . . . . . . . 9 |- ( seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y )
19	18	anbi2i 730	. . . . . . . 8 |- ( ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
20	19	exbii 1774	. . . . . . 7 |- ( E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
21	20	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
22		seqeq3 12806	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) -> seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) = seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
23	15, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) = seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) )
24	23	breq1i 4660	. . . . . 6 |- ( seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x )
25	1, 21, 24	3anbi123i 1251	. . . . 5 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) )
26	25	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) )
27	4, 9, 13	cbvcsb 3538	. . . . . . . . . . 11 |- [_ ( f ` n ) / j ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C
28	27	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
29		seqeq3 12806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) = seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) = seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) )
31	30	fveq1i 6192	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m )
32	31	eqeq2i 2634	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) )
33	32	anbi2i 730	. . . . . 6 |- ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) )
34	33	exbii 1774	. . . . 5 |- ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) )
35	34	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) )
36	26, 35	orbi12i 543	. . 3 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
37	36	iotabii 5873	. 2 |- ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
38		df-prod 14636	. 2 |- prod_ j e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
39		df-prod 14636	. 2 |- prod_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
40	37, 38, 39	3eqtr4i 2654	1 |- prod_ j e. A B = prod_ k e. A C

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   E.wrex 2913   [_csb 3533   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   iotacio 5849   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ~~> cli 14215   prod_cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seq 12802  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  cbvprodv  14646  cbvprodi  14647  fprodcllemf  14688  fproddivf  14718  fprodsplitf  14719  vonn0ioo2  40904  vonn0icc2  40906