Theorem vonn0ioo2 40904

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of an open interval when the dimension of the space is nonzero. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonn0ioo2.k	|- F/ k ph
vonn0ioo2.x	|- ( ph -> X e. Fin )
vonn0ioo2.n	|- ( ph -> X =/= (/) )
vonn0ioo2.a	|- ( ( ph /\ k e. X ) -> A e. RR )
vonn0ioo2.b	|- ( ( ph /\ k e. X ) -> B e. RR )
vonn0ioo2.i	|- I = X_ k e. X ( A (,) B )

Assertion

Ref	Expression
vonn0ioo2	|- ( ph -> ( (voln ` X ) ` I ) = prod_ k e. X ( vol ` ( A (,) B ) ) )

Distinct variable group:   k, X

Allowed substitution hints:   ph( k)   A( k)   B( k)   I( k)

Proof of Theorem vonn0ioo2

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonn0ioo2.i	. . . . 5 |- I = X_ k e. X ( A (,) B )
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> I = X_ k e. X ( A (,) B ) )
3		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> j e. X )
4		vonn0ioo2.k	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ph
5		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k j e. X
6	4, 5	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( ph /\ j e. X )
7		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ j / k ]_ A
8		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k RR
9	7, 8	nfel 2777	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ j / k ]_ A e. RR
10	6, 9	nfim 1825	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ph /\ j e. X ) -> [_ j / k ]_ A e. RR )
11		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( k e. X <-> j e. X ) )
12	11	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. X ) <-> ( ph /\ j e. X ) ) )
13		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> A = [_ j / k ]_ A )
14	13	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( A e. RR <-> [_ j / k ]_ A e. RR ) )
15	12, 14	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. X ) -> A e. RR ) <-> ( ( ph /\ j e. X ) -> [_ j / k ]_ A e. RR ) ) )
16		vonn0ioo2.a	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> A e. RR )
17	10, 15, 16	chvar 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> [_ j / k ]_ A e. RR )
18		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( k e. X |-> A ) = ( k e. X |-> A )
19	18	fvmpts 6285	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. X /\ [_ j / k ]_ A e. RR ) -> ( ( k e. X |-> A ) ` j ) = [_ j / k ]_ A )
20	3, 17, 19	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> ( ( k e. X |-> A ) ` j ) = [_ j / k ]_ A )
21		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
22	21, 8	nfel 2777	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ j / k ]_ B e. RR
23	6, 22	nfim 1825	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ph /\ j e. X ) -> [_ j / k ]_ B e. RR )
24		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
25	24	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( B e. RR <-> [_ j / k ]_ B e. RR ) )
26	12, 25	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. X ) -> B e. RR ) <-> ( ( ph /\ j e. X ) -> [_ j / k ]_ B e. RR ) ) )
27		vonn0ioo2.b	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> B e. RR )
28	23, 26, 27	chvar 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> [_ j / k ]_ B e. RR )
29		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( k e. X |-> B ) = ( k e. X |-> B )
30	29	fvmpts 6285	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. X /\ [_ j / k ]_ B e. RR ) -> ( ( k e. X |-> B ) ` j ) = [_ j / k ]_ B )
31	3, 28, 30	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> ( ( k e. X |-> B ) ` j ) = [_ j / k ]_ B )
32	20, 31	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> ( ( ( k e. X |-> A ) ` j ) (,) ( ( k e. X |-> B ) ` j ) ) = ( [_ j / k ]_ A (,) [_ j / k ]_ B ) )
33	32	ixpeq2dva 7923	. . . . 5 |- ( ph -> X_ j e. X ( ( ( k e. X |-> A ) ` j ) (,) ( ( k e. X |-> B ) ` j ) ) = X_ j e. X ( [_ j / k ]_ A (,) [_ j / k ]_ B ) )
34		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k (,)
35	7, 34, 21	nfov 6676	. . . . . . 7 |- F/_ k ( [_ j / k ]_ A (,) [_ j / k ]_ B )
36		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ j ( A (,) B )
37	13	equcoms 1947	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> A = [_ j / k ]_ A )
38	37	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> [_ j / k ]_ A = A )
39		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> A = A )
40	38, 39	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> [_ j / k ]_ A = A )
41	24	equcoms 1947	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> B = [_ j / k ]_ B )
42	41	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> [_ j / k ]_ B = B )
43	40, 42	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( [_ j / k ]_ A (,) [_ j / k ]_ B ) = ( A (,) B ) )
44	35, 36, 43	cbvixp 7925	. . . . . 6 |- X_ j e. X ( [_ j / k ]_ A (,) [_ j / k ]_ B ) = X_ k e. X ( A (,) B )
45	44	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> X_ j e. X ( [_ j / k ]_ A (,) [_ j / k ]_ B ) = X_ k e. X ( A (,) B ) )
46	33, 45	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> X_ j e. X ( ( ( k e. X |-> A ) ` j ) (,) ( ( k e. X |-> B ) ` j ) ) = X_ k e. X ( A (,) B ) )
47	2, 46	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ph -> I = X_ j e. X ( ( ( k e. X |-> A ) ` j ) (,) ( ( k e. X |-> B ) ` j ) ) )
48	47	fveq2d 6195	. 2 |- ( ph -> ( (voln ` X ) ` I ) = ( (voln ` X ) ` X_ j e. X ( ( ( k e. X |-> A ) ` j ) (,) ( ( k e. X |-> B ) ` j ) ) ) )
49		vonn0ioo2.x	. . 3 |- ( ph -> X e. Fin )
50		vonn0ioo2.n	. . 3 |- ( ph -> X =/= (/) )
51	4, 16, 18	fmptdf 6387	. . 3 |- ( ph -> ( k e. X |-> A ) : X --> RR )
52	4, 27, 29	fmptdf 6387	. . 3 |- ( ph -> ( k e. X |-> B ) : X --> RR )
53		eqid 2622	. . 3 |- X_ j e. X ( ( ( k e. X |-> A ) ` j ) (,) ( ( k e. X |-> B ) ` j ) ) = X_ j e. X ( ( ( k e. X |-> A ) ` j ) (,) ( ( k e. X |-> B ) ` j ) )
54	49, 50, 51, 52, 53	vonn0ioo 40901	. 2 |- ( ph -> ( (voln ` X ) ` X_ j e. X ( ( ( k e. X |-> A ) ` j ) (,) ( ( k e. X |-> B ) ` j ) ) ) = prod_ j e. X ( vol ` ( ( ( k e. X |-> A ) ` j ) [,) ( ( k e. X |-> B ) ` j ) ) ) )
55	20, 31	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> ( ( ( k e. X |-> A ) ` j ) [,) ( ( k e. X |-> B ) ` j ) ) = ( [_ j / k ]_ A [,) [_ j / k ]_ B ) )
56	55	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> ( vol ` ( ( ( k e. X |-> A ) ` j ) [,) ( ( k e. X |-> B ) ` j ) ) ) = ( vol ` ( [_ j / k ]_ A [,) [_ j / k ]_ B ) ) )
57	17, 28	voliooico 40209	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> ( vol ` ( [_ j / k ]_ A (,) [_ j / k ]_ B ) ) = ( vol ` ( [_ j / k ]_ A [,) [_ j / k ]_ B ) ) )
58	57	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> ( vol ` ( [_ j / k ]_ A [,) [_ j / k ]_ B ) ) = ( vol ` ( [_ j / k ]_ A (,) [_ j / k ]_ B ) ) )
59	56, 58	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> ( vol ` ( ( ( k e. X |-> A ) ` j ) [,) ( ( k e. X |-> B ) ` j ) ) ) = ( vol ` ( [_ j / k ]_ A (,) [_ j / k ]_ B ) ) )
60	59	prodeq2dv 14653	. . 3 |- ( ph -> prod_ j e. X ( vol ` ( ( ( k e. X |-> A ) ` j ) [,) ( ( k e. X |-> B ) ` j ) ) ) = prod_ j e. X ( vol ` ( [_ j / k ]_ A (,) [_ j / k ]_ B ) ) )
61	43	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( j = k -> ( vol ` ( [_ j / k ]_ A (,) [_ j / k ]_ B ) ) = ( vol ` ( A (,) B ) ) )
62		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ k X
63		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ j X
64		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ k vol
65	64, 35	nffv 6198	. . . . 5 |- F/_ k ( vol ` ( [_ j / k ]_ A (,) [_ j / k ]_ B ) )
66		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ j ( vol ` ( A (,) B ) )
67	61, 62, 63, 65, 66	cbvprod 14645	. . . 4 |- prod_ j e. X ( vol ` ( [_ j / k ]_ A (,) [_ j / k ]_ B ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( A (,) B ) )
68	67	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> prod_ j e. X ( vol ` ( [_ j / k ]_ A (,) [_ j / k ]_ B ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( A (,) B ) ) )
69	60, 68	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> prod_ j e. X ( vol ` ( ( ( k e. X |-> A ) ` j ) [,) ( ( k e. X |-> B ) ` j ) ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( A (,) B ) ) )
70	48, 54, 69	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( (voln ` X ) ` I ) = prod_ k e. X ( vol ` ( A (,) B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   [_csb 3533   (/)c0 3915   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   Fincfn 7955   RRcr 9935   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   prod_cprod 14635   volcvol 23232  volncvoln 40752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-pws 16110  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-refld 19951  df-phl 19971  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-tng 22389  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-cncf 22681  df-clm 22863  df-cph 22968  df-tch 22969  df-rrx 23173  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-salg 40529  df-sumge0 40580  df-mea 40667  df-ome 40704  df-caragen 40706  df-ovoln 40751  df-voln 40753

This theorem is referenced by: (None)