Theorem cnvsn 5618

Description: Converse of a singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 11-May-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnvsn.1	|- A e. _V
cnvsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
cnvsn	|- `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. }

Proof of Theorem cnvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnvsn 5612	. 2 |- `' `' { <. B , A >. } = `' { <. A , B >. }
2		cnvsn.2	. . . 4 |- B e. _V
3		cnvsn.1	. . . 4 |- A e. _V
4	2, 3	relsnop 5224	. . 3 |- Rel { <. B , A >. }
5		dfrel2 5583	. . 3 |- ( Rel { <. B , A >. } <-> `' `' { <. B , A >. } = { <. B , A >. } )
6	4, 5	mpbi 220	. 2 |- `' `' { <. B , A >. } = { <. B , A >. }
7	1, 6	eqtr3i 2646	1 |- `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. }

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   <.cop 4183   `'ccnv 5113   Rel wrel 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122

This theorem is referenced by:  op2ndb  5619  cnvsng  5621  f1osn  6176  1sdom  8163  ex-cnv  27294