Theorem 1sdom 8163

Description: A set that strictly dominates ordinal 1 has at least 2 different members. (Closely related to 2dom 8029.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom	|- ( A e. V -> ( 1o ~< A <-> E. x e. A E. y e. A -. x = y ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem 1sdom

Dummy variables f a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4657	. 2 |- ( a = A -> ( 1o ~< a <-> 1o ~< A ) )
2		rexeq 3139	. . 3 |- ( a = A -> ( E. y e. a -. x = y <-> E. y e. A -. x = y ) )
3	2	rexeqbi1dv 3147	. 2 |- ( a = A -> ( E. x e. a E. y e. a -. x = y <-> E. x e. A E. y e. A -. x = y ) )
4		1onn 7719	. . . 4 |- 1o e. om
5		sucdom 8157	. . . 4 |- ( 1o e. om -> ( 1o ~< a <-> suc 1o ~<_ a ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 |- ( 1o ~< a <-> suc 1o ~<_ a )
7		df-2o 7561	. . . 4 |- 2o = suc 1o
8	7	breq1i 4660	. . 3 |- ( 2o ~<_ a <-> suc 1o ~<_ a )
9		2dom 8029	. . . 4 |- ( 2o ~<_ a -> E. x e. a E. y e. a -. x = y )
10		df2o3 7573	. . . . 5 |- 2o = { (/) , 1o }
11		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
12		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
13		0ex 4790	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. _V
14	4	elexi 3213	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. _V
15	11, 12, 13, 14	funpr 5944	. . . . . . . . . . 11 |- ( x =/= y -> Fun { <. x , (/) >. , <. y , 1o >. } )
16		df-ne 2795	. . . . . . . . . . 11 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
17		1n0 7575	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o =/= (/)
18	17	necomi 2848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) =/= 1o
19	13, 14, 11, 12	fpr 6421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) =/= 1o -> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } : { (/) , 1o } --> { x , y } )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } : { (/) , 1o } --> { x , y }
21		df-f1 5893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } : { (/) , 1o } -1-1-> { x , y } <-> ( { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } : { (/) , 1o } --> { x , y } /\ Fun `' { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } ) )
22	20, 21	mpbiran 953	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } : { (/) , 1o } -1-1-> { x , y } <-> Fun `' { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )
23	13, 11	cnvsn 5618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' { <. (/) , x >. } = { <. x , (/) >. }
24	14, 12	cnvsn 5618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' { <. 1o , y >. } = { <. y , 1o >. }
25	23, 24	uneq12i 3765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' { <. (/) , x >. } u. `' { <. 1o , y >. } ) = ( { <. x , (/) >. } u. { <. y , 1o >. } )
26		df-pr 4180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } = ( { <. (/) , x >. } u. { <. 1o , y >. } )
27	26	cnveqi 5297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } = `' ( { <. (/) , x >. } u. { <. 1o , y >. } )
28		cnvun 5538	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' ( { <. (/) , x >. } u. { <. 1o , y >. } ) = ( `' { <. (/) , x >. } u. `' { <. 1o , y >. } )
29	27, 28	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } = ( `' { <. (/) , x >. } u. `' { <. 1o , y >. } )
30		df-pr 4180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { <. x , (/) >. , <. y , 1o >. } = ( { <. x , (/) >. } u. { <. y , 1o >. } )
31	25, 29, 30	3eqtr4i 2654	. . . . . . . . . . . . 13 |- `' { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } = { <. x , (/) >. , <. y , 1o >. }
32	31	funeqi 5909	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun `' { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } <-> Fun { <. x , (/) >. , <. y , 1o >. } )
33	22, 32	bitr2i 265	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun { <. x , (/) >. , <. y , 1o >. } <-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } : { (/) , 1o } -1-1-> { x , y } )
34	15, 16, 33	3imtr3i 280	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x = y -> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } : { (/) , 1o } -1-1-> { x , y } )
35		prssi 4353	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. a /\ y e. a ) -> { x , y } C_ a )
36		f1ss 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } : { (/) , 1o } -1-1-> { x , y } /\ { x , y } C_ a ) -> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } : { (/) , 1o } -1-1-> a )
37	34, 35, 36	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. x = y /\ ( x e. a /\ y e. a ) ) -> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } : { (/) , 1o } -1-1-> a )
38		prex 4909	. . . . . . . . . 10 |- { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } e. _V
39		f1eq1 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( f = { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } -> ( f : { (/) , 1o } -1-1-> a <-> { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } : { (/) , 1o } -1-1-> a ) )
40	38, 39	spcev 3300	. . . . . . . . 9 |- ( { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } : { (/) , 1o } -1-1-> a -> E. f f : { (/) , 1o } -1-1-> a )
41	37, 40	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( -. x = y /\ ( x e. a /\ y e. a ) ) -> E. f f : { (/) , 1o } -1-1-> a )
42		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- a e. _V
43	42	brdom 7967	. . . . . . . 8 |- ( { (/) , 1o } ~<_ a <-> E. f f : { (/) , 1o } -1-1-> a )
44	41, 43	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( -. x = y /\ ( x e. a /\ y e. a ) ) -> { (/) , 1o } ~<_ a )
45	44	expcom 451	. . . . . 6 |- ( ( x e. a /\ y e. a ) -> ( -. x = y -> { (/) , 1o } ~<_ a ) )
46	45	rexlimivv 3036	. . . . 5 |- ( E. x e. a E. y e. a -. x = y -> { (/) , 1o } ~<_ a )
47	10, 46	syl5eqbr 4688	. . . 4 |- ( E. x e. a E. y e. a -. x = y -> 2o ~<_ a )
48	9, 47	impbii 199	. . 3 |- ( 2o ~<_ a <-> E. x e. a E. y e. a -. x = y )
49	6, 8, 48	3bitr2i 288	. 2 |- ( 1o ~< a <-> E. x e. a E. y e. a -. x = y )
50	1, 3, 49	vtoclbg 3267	1 |- ( A e. V -> ( 1o ~< A <-> E. x e. A E. y e. A -. x = y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   suc csuc 5725   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   omcom 7065   1oc1o 7553   2oc2o 7554   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958

This theorem is referenced by:  unxpdomlem3  8166  frgpnabl  18278  isnzr2  19263