Theorem cnvcnvsn 5612

Description: Double converse of a singleton of an ordered pair. (Unlike cnvsn 5618, this does not need any sethood assumptions on A and B.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnvcnvsn	|- `' `' { <. A , B >. } = `' { <. B , A >. }

Proof of Theorem cnvcnvsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5503	. 2 |- Rel `' `' { <. A , B >. }
2		relcnv 5503	. 2 |- Rel `' { <. B , A >. }
3		vex 3203	. . . 4 |- x e. _V
4		vex 3203	. . . 4 |- y e. _V
5	3, 4	opelcnv 5304	. . 3 |- ( <. x , y >. e. `' `' { <. A , B >. } <-> <. y , x >. e. `' { <. A , B >. } )
6		ancom 466	. . . . . 6 |- ( ( x = A /\ y = B ) <-> ( y = B /\ x = A ) )
7	3, 4	opth 4945	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = <. A , B >. <-> ( x = A /\ y = B ) )
8	4, 3	opth 4945	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. = <. B , A >. <-> ( y = B /\ x = A ) )
9	6, 7, 8	3bitr4i 292	. . . . 5 |- ( <. x , y >. = <. A , B >. <-> <. y , x >. = <. B , A >. )
10		opex 4932	. . . . . 6 |- <. x , y >. e. _V
11	10	elsn 4192	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. A , B >. } <-> <. x , y >. = <. A , B >. )
12		opex 4932	. . . . . 6 |- <. y , x >. e. _V
13	12	elsn 4192	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. { <. B , A >. } <-> <. y , x >. = <. B , A >. )
14	9, 11, 13	3bitr4i 292	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. { <. A , B >. } <-> <. y , x >. e. { <. B , A >. } )
15	4, 3	opelcnv 5304	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. `' { <. A , B >. } <-> <. x , y >. e. { <. A , B >. } )
16	3, 4	opelcnv 5304	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' { <. B , A >. } <-> <. y , x >. e. { <. B , A >. } )
17	14, 15, 16	3bitr4i 292	. . 3 |- ( <. y , x >. e. `' { <. A , B >. } <-> <. x , y >. e. `' { <. B , A >. } )
18	5, 17	bitri 264	. 2 |- ( <. x , y >. e. `' `' { <. A , B >. } <-> <. x , y >. e. `' { <. B , A >. } )
19	1, 2, 18	eqrelriiv 5214	1 |- `' `' { <. A , B >. } = `' { <. B , A >. }

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {csn 4177   <.cop 4183   `'ccnv 5113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122

This theorem is referenced by:  rnsnopg  5614  cnvsn  5618  strlemor1OLD  15969