Theorem f1osn 6176

Description: A singleton of an ordered pair is one-to-one onto function. (Contributed by NM, 18-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1osn.1	|- A e. _V
f1osn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
f1osn	|- { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }

Proof of Theorem f1osn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osn.1	. . 3 |- A e. _V
2		f1osn.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	fnsn 5946	. 2 |- { <. A , B >. } Fn { A }
4	2, 1	fnsn 5946	. . 3 |- { <. B , A >. } Fn { B }
5	1, 2	cnvsn 5618	. . . 4 |- `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. }
6	5	fneq1i 5985	. . 3 |- ( `' { <. A , B >. } Fn { B } <-> { <. B , A >. } Fn { B } )
7	4, 6	mpbir 221	. 2 |- `' { <. A , B >. } Fn { B }
8		dff1o4 6145	. 2 |- ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } <-> ( { <. A , B >. } Fn { A } /\ `' { <. A , B >. } Fn { B } ) )
9	3, 7, 8	mpbir2an 955	1 |- { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }

Syntax hints:   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   <.cop 4183   `'ccnv 5113   Fn wfn 5883   -1-1-onto->wf1o 5887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895

This theorem is referenced by:  f1osng  6177  fsn  6402  mapsn  7899  ensn1  8020  phplem2  8140  isinf  8173  pssnn  8178  ac6sfi  8204  marypha1lem  8339  hashf1lem1  13239  0ram  15724  mdet0f1o  20399  imasdsf1olem  22178  istrkg2ld  25359  axlowdimlem10  25831  subfacp1lem5  31166  poimirlem3  33412  grposnOLD  33681