Theorem cnvssco 37912

Description: A condition weaker than reflexivity. (Contributed by RP, 3-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cnvssco	|- ( `' A C_ `' ( B o. C ) <-> A. x A. y E. z ( x A y -> ( x C z /\ z B y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z

Proof of Theorem cnvssco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alcom 2037	. 2 |- ( A. y A. x ( <. y , x >. e. `' A -> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) ) <-> A. x A. y ( <. y , x >. e. `' A -> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) ) )
2		relcnv 5503	. . 3 |- Rel `' A
3		ssrel 5207	. . 3 |- ( Rel `' A -> ( `' A C_ `' ( B o. C ) <-> A. y A. x ( <. y , x >. e. `' A -> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) ) ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( `' A C_ `' ( B o. C ) <-> A. y A. x ( <. y , x >. e. `' A -> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) ) )
5		19.37v 1910	. . . 4 |- ( E. z ( x A y -> ( x C z /\ z B y ) ) <-> ( x A y -> E. z ( x C z /\ z B y ) ) )
6		vex 3203	. . . . . . 7 |- y e. _V
7		vex 3203	. . . . . . 7 |- x e. _V
8	6, 7	brcnv 5305	. . . . . 6 |- ( y `' A x <-> x A y )
9		df-br 4654	. . . . . 6 |- ( y `' A x <-> <. y , x >. e. `' A )
10	8, 9	bitr3i 266	. . . . 5 |- ( x A y <-> <. y , x >. e. `' A )
11	7, 6	brco 5292	. . . . . 6 |- ( x ( B o. C ) y <-> E. z ( x C z /\ z B y ) )
12	6, 7	brcnv 5305	. . . . . . 7 |- ( y `' ( B o. C ) x <-> x ( B o. C ) y )
13		df-br 4654	. . . . . . 7 |- ( y `' ( B o. C ) x <-> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) )
14	12, 13	bitr3i 266	. . . . . 6 |- ( x ( B o. C ) y <-> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) )
15	11, 14	bitr3i 266	. . . . 5 |- ( E. z ( x C z /\ z B y ) <-> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) )
16	10, 15	imbi12i 340	. . . 4 |- ( ( x A y -> E. z ( x C z /\ z B y ) ) <-> ( <. y , x >. e. `' A -> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) ) )
17	5, 16	bitri 264	. . 3 |- ( E. z ( x A y -> ( x C z /\ z B y ) ) <-> ( <. y , x >. e. `' A -> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) ) )
18	17	2albii 1748	. 2 |- ( A. x A. y E. z ( x A y -> ( x C z /\ z B y ) ) <-> A. x A. y ( <. y , x >. e. `' A -> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) ) )
19	1, 4, 18	3bitr4i 292	1 |- ( `' A C_ `' ( B o. C ) <-> A. x A. y E. z ( x A y -> ( x C z /\ z B y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   C_ wss 3574   <.cop 4183   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   o. ccom 5118   Rel wrel 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123

This theorem is referenced by:  refimssco  37913