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Theorem cotr2g 13715
Description: Two ways of saying that the composition of two relations is included in a third relation. See its special instance cotr2 13716 for the main application. (Contributed by RP, 22-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cotr2g.d |- dom B C_ D
cotr2g.e |- ( ran B i^i dom A ) C_ E
cotr2g.f |- ran A C_ F
Assertion
Ref Expression
cotr2g |- ( ( A o. B ) C_ C <-> A. x e. D A. y e. E A. z e. F ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   x, D, y, z   y, E, z   z, F
Allowed substitution hints:   E( x)   F( x, y)
Proof of Theorem cotr2g
StepHypRef Expression
1 cotrg 5507 . 2 |- ( ( A o. B ) C_ C <-> A. x A. y A. z ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) )
2 nfv 1843 . . . . . 6 |- F/ y x e. D
3 nfv 1843 . . . . . 6 |- F/ z x e. D
42, 319.21-2 2078 . . . . 5 |- ( A. y A. z ( x e. D -> ( y e. E -> ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) ) <-> ( x e. D -> A. y A. z ( y e. E -> ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) ) )
54albii 1747 . . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( x e. D -> ( y e. E -> ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) ) <-> A. x ( x e. D -> A. y A. z ( y e. E -> ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) ) )
6 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x B y /\ y A z ) -> x B y )
7 id 22 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x B y /\ y A z ) -> ( x B y /\ y A z ) )
8 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x B y /\ y A z ) -> y A z )
96, 7, 83jca 1242 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x B y /\ y A z ) -> ( x B y /\ ( x B y /\ y A z ) /\ y A z ) )
10 simp2 1062 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x B y /\ ( x B y /\ y A z ) /\ y A z ) -> ( x B y /\ y A z ) )
119, 10impbii 199 . . . . . . . . 9 |- ( ( x B y /\ y A z ) <-> ( x B y /\ ( x B y /\ y A z ) /\ y A z ) )
12 cotr2g.d . . . . . . . . . . . 12 |- dom B C_ D
13 vex 3203 . . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
14 vex 3203 . . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
1513, 14breldm 5329 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x B y -> x e. dom B )
1612, 15sseldi 3601 . . . . . . . . . . 11 |- ( x B y -> x e. D )
1716pm4.71ri 665 . . . . . . . . . 10 |- ( x B y <-> ( x e. D /\ x B y ) )
18 cotr2g.e . . . . . . . . . . . 12 |- ( ran B i^i dom A ) C_ E
1913, 14brelrn 5356 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x B y -> y e. ran B )
20 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
2114, 20breldm 5329 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y A z -> y e. dom A )
22 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ran B i^i dom A ) <-> ( y e. ran B /\ y e. dom A ) )
2322biimpri 218 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ran B /\ y e. dom A ) -> y e. ( ran B i^i dom A ) )
2419, 21, 23syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x B y /\ y A z ) -> y e. ( ran B i^i dom A ) )
2518, 24sseldi 3601 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x B y /\ y A z ) -> y e. E )
2625pm4.71ri 665 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x B y /\ y A z ) <-> ( y e. E /\ ( x B y /\ y A z ) ) )
27 cotr2g.f . . . . . . . . . . . 12 |- ran A C_ F
2814, 20brelrn 5356 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y A z -> z e. ran A )
2927, 28sseldi 3601 . . . . . . . . . . 11 |- ( y A z -> z e. F )
3029pm4.71ri 665 . . . . . . . . . 10 |- ( y A z <-> ( z e. F /\ y A z ) )
3117, 26, 303anbi123i 1251 . . . . . . . . 9 |- ( ( x B y /\ ( x B y /\ y A z ) /\ y A z ) <-> ( ( x e. D /\ x B y ) /\ ( y e. E /\ ( x B y /\ y A z ) ) /\ ( z e. F /\ y A z ) ) )
32 3an6 1409 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. D /\ x B y ) /\ ( y e. E /\ ( x B y /\ y A z ) ) /\ ( z e. F /\ y A z ) ) <-> ( ( x e. D /\ y e. E /\ z e. F ) /\ ( x B y /\ ( x B y /\ y A z ) /\ y A z ) ) )
3310, 9impbii 199 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x B y /\ ( x B y /\ y A z ) /\ y A z ) <-> ( x B y /\ y A z ) )
3433anbi2i 730 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. D /\ y e. E /\ z e. F ) /\ ( x B y /\ ( x B y /\ y A z ) /\ y A z ) ) <-> ( ( x e. D /\ y e. E /\ z e. F ) /\ ( x B y /\ y A z ) ) )
3532, 34bitri 264 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. D /\ x B y ) /\ ( y e. E /\ ( x B y /\ y A z ) ) /\ ( z e. F /\ y A z ) ) <-> ( ( x e. D /\ y e. E /\ z e. F ) /\ ( x B y /\ y A z ) ) )
3611, 31, 353bitri 286 . . . . . . . 8 |- ( ( x B y /\ y A z ) <-> ( ( x e. D /\ y e. E /\ z e. F ) /\ ( x B y /\ y A z ) ) )
3736imbi1i 339 . . . . . . 7 |- ( ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) <-> ( ( ( x e. D /\ y e. E /\ z e. F ) /\ ( x B y /\ y A z ) ) -> x C z ) )
38 impexp 462 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. D /\ y e. E /\ z e. F ) /\ ( x B y /\ y A z ) ) -> x C z ) <-> ( ( x e. D /\ y e. E /\ z e. F ) -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) )
39 3impexp 1289 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. D /\ y e. E /\ z e. F ) -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) <-> ( x e. D -> ( y e. E -> ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) ) )
4037, 38, 393bitri 286 . . . . . 6 |- ( ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) <-> ( x e. D -> ( y e. E -> ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) ) )
4140albii 1747 . . . . 5 |- ( A. z ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) <-> A. z ( x e. D -> ( y e. E -> ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) ) )
42412albii 1748 . . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) <-> A. x A. y A. z ( x e. D -> ( y e. E -> ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) ) )
43 df-ral 2917 . . . 4 |- ( A. x e. D A. y A. z ( y e. E -> ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) <-> A. x ( x e. D -> A. y A. z ( y e. E -> ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) ) )
445, 42, 433bitr4i 292 . . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) <-> A. x e. D A. y A. z ( y e. E -> ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) )
45 df-ral 2917 . . . . . 6 |- ( A. y e. E A. z ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) <-> A. y ( y e. E -> A. z ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) )
46 19.21v 1868 . . . . . . . 8 |- ( A. z ( y e. E -> ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) <-> ( y e. E -> A. z ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) )
4746bicomi 214 . . . . . . 7 |- ( ( y e. E -> A. z ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) <-> A. z ( y e. E -> ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) )
4847albii 1747 . . . . . 6 |- ( A. y ( y e. E -> A. z ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) <-> A. y A. z ( y e. E -> ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) )
4945, 48bitri 264 . . . . 5 |- ( A. y e. E A. z ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) <-> A. y A. z ( y e. E -> ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) )
5049bicomi 214 . . . 4 |- ( A. y A. z ( y e. E -> ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) <-> A. y e. E A. z ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) )
5150ralbii 2980 . . 3 |- ( A. x e. D A. y A. z ( y e. E -> ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) ) <-> A. x e. D A. y e. E A. z ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) )
5244, 51bitri 264 . 2 |- ( A. x A. y A. z ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) <-> A. x e. D A. y e. E A. z ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) )
53 df-ral 2917 . . . . 5 |- ( A. z e. F ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) <-> A. z ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) )
5453bicomi 214 . . . 4 |- ( A. z ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) <-> A. z e. F ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) )
5554ralbii 2980 . . 3 |- ( A. y e. E A. z ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) <-> A. y e. E A. z e. F ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) )
5655ralbii 2980 . 2 |- ( A. x e. D A. y e. E A. z ( z e. F -> ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) ) <-> A. x e. D A. y e. E A. z e. F ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) )
571, 52, 563bitri 286 1 |- ( ( A o. B ) C_ C <-> A. x e. D A. y e. E A. z e. F ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   o. ccom 5118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125
This theorem is referenced by:  cotr2  13716
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