Theorem cvmscbv 31240

Description: Change bound variables in the set of even coverings. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscvm.1	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
cvmscbv	|- S = ( a e. J |-> { b e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. b = ( `' F " a ) /\ A. c e. b ( A. d e. ( b \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t a ) ) ) ) } )

Distinct variable groups:   a, b, c, d, k, s, u, v   C, a, b, c, k, s, u   F, a, b, c, k, s, u   J, a, b, c, k, s, u

Allowed substitution hints:   C( v, d)   S( v, u, k, s, a, b, c, d)   F( v, d)   J( v, d)

Proof of Theorem cvmscbv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscvm.1	. 2 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
2		unieq 4444	. . . . . . 7 |- ( s = b -> U. s = U. b )
3	2	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( s = b -> ( U. s = ( `' F " k ) <-> U. b = ( `' F " k ) ) )
4		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = d -> ( u i^i v ) = ( u i^i d ) )
5	4	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = d -> ( ( u i^i v ) = (/) <-> ( u i^i d ) = (/) ) )
6	5	cbvralv 3171	. . . . . . . . . 10 |- ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) <-> A. d e. ( s \ { u } ) ( u i^i d ) = (/) )
7		sneq 4187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = c -> { u } = { c } )
8	7	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = c -> ( s \ { u } ) = ( s \ { c } ) )
9		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = c -> ( u i^i d ) = ( c i^i d ) )
10	9	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = c -> ( ( u i^i d ) = (/) <-> ( c i^i d ) = (/) ) )
11	8, 10	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . 10 |- ( u = c -> ( A. d e. ( s \ { u } ) ( u i^i d ) = (/) <-> A. d e. ( s \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) ) )
12	6, 11	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 |- ( u = c -> ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) <-> A. d e. ( s \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) ) )
13		reseq2 5391	. . . . . . . . . 10 |- ( u = c -> ( F |` u ) = ( F |` c ) )
14		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = c -> ( C ↾t u ) = ( C ↾t c ) )
15	14	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( u = c -> ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) = ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) )
16	13, 15	eleq12d 2695	. . . . . . . . 9 |- ( u = c -> ( ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) <-> ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) )
17	12, 16	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( u = c -> ( ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) <-> ( A. d e. ( s \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) )
18	17	cbvralv 3171	. . . . . . 7 |- ( A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) <-> A. c e. s ( A. d e. ( s \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) )
19		difeq1 3721	. . . . . . . . . 10 |- ( s = b -> ( s \ { c } ) = ( b \ { c } ) )
20	19	raleqdv 3144	. . . . . . . . 9 |- ( s = b -> ( A. d e. ( s \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) <-> A. d e. ( b \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) ) )
21	20	anbi1d 741	. . . . . . . 8 |- ( s = b -> ( ( A. d e. ( s \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) <-> ( A. d e. ( b \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) )
22	21	raleqbi1dv 3146	. . . . . . 7 |- ( s = b -> ( A. c e. s ( A. d e. ( s \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) <-> A. c e. b ( A. d e. ( b \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) )
23	18, 22	syl5bb 272	. . . . . 6 |- ( s = b -> ( A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) <-> A. c e. b ( A. d e. ( b \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) )
24	3, 23	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( s = b -> ( ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) <-> ( U. b = ( `' F " k ) /\ A. c e. b ( A. d e. ( b \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) ) )
25	24	cbvrabv 3199	. . . 4 |- { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } = { b e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. b = ( `' F " k ) /\ A. c e. b ( A. d e. ( b \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) }
26		imaeq2 5462	. . . . . . 7 |- ( k = a -> ( `' F " k ) = ( `' F " a ) )
27	26	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( k = a -> ( U. b = ( `' F " k ) <-> U. b = ( `' F " a ) ) )
28		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( k = a -> ( J ↾t k ) = ( J ↾t a ) )
29	28	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( k = a -> ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) = ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t a ) ) )
30	29	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( k = a -> ( ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) <-> ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t a ) ) ) )
31	30	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( k = a -> ( ( A. d e. ( b \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) <-> ( A. d e. ( b \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t a ) ) ) ) )
32	31	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( k = a -> ( A. c e. b ( A. d e. ( b \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) <-> A. c e. b ( A. d e. ( b \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t a ) ) ) ) )
33	27, 32	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( k = a -> ( ( U. b = ( `' F " k ) /\ A. c e. b ( A. d e. ( b \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) <-> ( U. b = ( `' F " a ) /\ A. c e. b ( A. d e. ( b \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t a ) ) ) ) ) )
34	33	rabbidv 3189	. . . 4 |- ( k = a -> { b e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. b = ( `' F " k ) /\ A. c e. b ( A. d e. ( b \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } = { b e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. b = ( `' F " a ) /\ A. c e. b ( A. d e. ( b \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t a ) ) ) ) } )
35	25, 34	syl5eq 2668	. . 3 |- ( k = a -> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } = { b e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. b = ( `' F " a ) /\ A. c e. b ( A. d e. ( b \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t a ) ) ) ) } )
36	35	cbvmptv 4750	. 2 |- ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } ) = ( a e. J |-> { b e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. b = ( `' F " a ) /\ A. c e. b ( A. d e. ( b \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t a ) ) ) ) } )
37	1, 36	eqtri 2644	1 |- S = ( a e. J |-> { b e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. b = ( `' F " a ) /\ A. c e. b ( A. d e. ( b \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t a ) ) ) ) } )

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   |` cres 5116   "cima 5117  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Homeochmeo 21556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653

This theorem is referenced by:  cvmsss2  31256  cvmliftmoi  31265  cvmlift  31281  cvmfo  31282  cvmlift3  31310