Theorem cvmsval 31248

Description: Elementhood in the set S of all even coverings of an open set in J. S is an even covering of U if it is a nonempty collection of disjoint open sets in C whose union is the preimage of U, such that each set u e. S is homeomorphic under F to U. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cvmcov.1	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
cvmsval	|- ( C e. V -> ( T e. ( S ` U ) <-> ( U e. J /\ ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, s, u, v, C   k, F, s, u, v   k, J, s, u, v   U, k, s, u, v   T, s, u, v   k, V, s, u, v

Allowed substitution hints:   S( v, u, k, s)   T( k)

Proof of Theorem cvmsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmcov.1	. . 3 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
2	1	cvmsi 31247	. 2 |- ( T e. ( S ` U ) -> ( U e. J /\ ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) )
3		3anass 1042	. . 3 |- ( ( U e. J /\ ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) <-> ( U e. J /\ ( ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) )
4		id 22	. . . . . . . 8 |- ( U e. J -> U e. J )
5		pwexg 4850	. . . . . . . . 9 |- ( C e. V -> ~P C e. _V )
6		difexg 4808	. . . . . . . . 9 |- ( ~P C e. _V -> ( ~P C \ { (/) } ) e. _V )
7		rabexg 4812	. . . . . . . . 9 |- ( ( ~P C \ { (/) } ) e. _V -> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } e. _V )
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( C e. V -> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } e. _V )
9		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = U -> ( `' F " k ) = ( `' F " U ) )
10	9	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = U -> ( U. s = ( `' F " k ) <-> U. s = ( `' F " U ) ) )
11		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = U -> ( J ↾t k ) = ( J ↾t U ) )
12	11	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = U -> ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) = ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) )
13	12	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = U -> ( ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) <-> ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) )
14	13	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = U -> ( ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) <-> ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) )
15	14	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = U -> ( A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) <-> A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) )
16	10, 15	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( k = U -> ( ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) <-> ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) )
17	16	rabbidv 3189	. . . . . . . . 9 |- ( k = U -> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } = { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } )
18	17, 1	fvmptg 6280	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. J /\ { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } e. _V ) -> ( S ` U ) = { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } )
19	4, 8, 18	syl2anr 495	. . . . . . 7 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( S ` U ) = { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } )
20	19	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( T e. ( S ` U ) <-> T e. { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } ) )
21		unieq 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( s = T -> U. s = U. T )
22	21	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( s = T -> ( U. s = ( `' F " U ) <-> U. T = ( `' F " U ) ) )
23		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = T -> ( s \ { u } ) = ( T \ { u } ) )
24	23	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = T -> ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) <-> A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) ) )
25	24	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( s = T -> ( ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) <-> ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) )
26	25	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . 9 |- ( s = T -> ( A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) <-> A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) )
27	22, 26	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( s = T -> ( ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) <-> ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) )
28	27	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( T e. { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } <-> ( T e. ( ~P C \ { (/) } ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) )
29		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 |- ( T e. ( ~P C \ { (/) } ) <-> ( T e. ~P C /\ T =/= (/) ) )
30		elpw2g 4827	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. V -> ( T e. ~P C <-> T C_ C ) )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( T e. ~P C <-> T C_ C ) )
32	31	anbi1d 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( ( T e. ~P C /\ T =/= (/) ) <-> ( T C_ C /\ T =/= (/) ) ) )
33	29, 32	syl5bb 272	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( T e. ( ~P C \ { (/) } ) <-> ( T C_ C /\ T =/= (/) ) ) )
34	33	anbi1d 741	. . . . . . 7 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( ( T e. ( ~P C \ { (/) } ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) <-> ( ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) )
35	28, 34	syl5bb 272	. . . . . 6 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( T e. { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " U ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) } <-> ( ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) )
36	20, 35	bitrd 268	. . . . 5 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( T e. ( S ` U ) <-> ( ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) )
37	36	biimprd 238	. . . 4 |- ( ( C e. V /\ U e. J ) -> ( ( ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) -> T e. ( S ` U ) ) )
38	37	expimpd 629	. . 3 |- ( C e. V -> ( ( U e. J /\ ( ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) -> T e. ( S ` U ) ) )
39	3, 38	syl5bi 232	. 2 |- ( C e. V -> ( ( U e. J /\ ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) -> T e. ( S ` U ) ) )
40	2, 39	impbid2 216	1 |- ( C e. V -> ( T e. ( S ` U ) <-> ( U e. J /\ ( T C_ C /\ T =/= (/) ) /\ ( U. T = ( `' F " U ) /\ A. u e. T ( A. v e. ( T \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t U ) ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   |` cres 5116   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Homeochmeo 21556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653

This theorem is referenced by:  cvmsss2  31256