Theorem dfhe3 38069

Description: The property of relation R being hereditary in class A. (Contributed by RP, 27-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfhe3	|- ( R hereditary A <-> A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, R, y

Proof of Theorem dfhe3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-he 38067	. 2 |- ( R hereditary A <-> ( R " A ) C_ A )
2		19.21v 1868	. . . . . 6 |- ( A. y ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) )
3	2	bicomi 214	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. y ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) )
4	3	albii 1747	. . . 4 |- ( A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. x A. y ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) )
5		alcom 2037	. . . 4 |- ( A. x A. y ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. y A. x ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) )
6		impexp 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) <-> ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) )
7	6	bicomi 214	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> ( ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
8	7	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. x ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. x ( ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
9		19.23v 1902	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
10	8, 9	bitri 264	. . . . 5 |- ( A. x ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
11	10	albii 1747	. . . 4 |- ( A. y A. x ( x e. A -> ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
12	4, 5, 11	3bitri 286	. . 3 |- ( A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) <-> A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
13		dfss2 3591	. . . . 5 |- ( { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } C_ A <-> A. y ( y e. { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } -> y e. A ) )
14		vex 3203	. . . . . . . 8 |- y e. _V
15		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> <. x , z >. = <. x , y >. )
16	15	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( <. x , z >. e. R <-> <. x , y >. e. R ) )
17		df-br 4654	. . . . . . . . . . 11 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
18	16, 17	syl6bbr 278	. . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( <. x , z >. e. R <-> x R y ) )
19	18	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) <-> ( x e. A /\ x R y ) ) )
20	19	exbidv 1850	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) <-> E. x ( x e. A /\ x R y ) ) )
21	14, 20	elab 3350	. . . . . . 7 |- ( y e. { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } <-> E. x ( x e. A /\ x R y ) )
22	21	imbi1i 339	. . . . . 6 |- ( ( y e. { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } -> y e. A ) <-> ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
23	22	albii 1747	. . . . 5 |- ( A. y ( y e. { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } -> y e. A ) <-> A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) )
24	13, 23	bitr2i 265	. . . 4 |- ( A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) <-> { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } C_ A )
25		dfima3 5469	. . . . . 6 |- ( R " A ) = { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) }
26	25	eqcomi 2631	. . . . 5 |- { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } = ( R " A )
27	26	sseq1i 3629	. . . 4 |- ( { z | E. x ( x e. A /\ <. x , z >. e. R ) } C_ A <-> ( R " A ) C_ A )
28	24, 27	bitri 264	. . 3 |- ( A. y ( E. x ( x e. A /\ x R y ) -> y e. A ) <-> ( R " A ) C_ A )
29	12, 28	bitr2i 265	. 2 |- ( ( R " A ) C_ A <-> A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) )
30	1, 29	bitri 264	1 |- ( R hereditary A <-> A. x ( x e. A -> A. y ( x R y -> y e. A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   C_ wss 3574   <.cop 4183   class class class wbr 4653   "cima 5117   hereditary whe 38066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-he 38067

This theorem is referenced by:  psshepw  38082  dffrege69  38226