Theorem dfinfre 11004

Description: The infimum of a set of reals A. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfinfre	|- ( A C_ RR -> inf ( A , RR , < ) = U. { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )

Distinct variable group:   x, A, y, z

Proof of Theorem dfinfre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 8349	. 2 |- inf ( A , RR , < ) = sup ( A , RR , `' < )
2		df-sup 8348	. . 3 |- sup ( A , RR , `' < ) = U. { x e. RR | ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) }
3		ssel2 3598	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ y e. A ) -> y e. RR )
4		lenlt 10116	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x <_ y <-> -. y < x ) )
5		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
6		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
7	5, 6	brcnv 5305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x `' < y <-> y < x )
8	7	notbii 310	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x `' < y <-> -. y < x )
9	4, 8	syl6rbbr 279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( -. x `' < y <-> x <_ y ) )
10	3, 9	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ ( A C_ RR /\ y e. A ) ) -> ( -. x `' < y <-> x <_ y ) )
11	10	ancoms 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ y e. A ) /\ x e. RR ) -> ( -. x `' < y <-> x <_ y ) )
12	11	an32s 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( -. x `' < y <-> x <_ y ) )
13	12	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. A -. x `' < y <-> A. y e. A x <_ y ) )
14	6, 5	brcnv 5305	. . . . . . . . 9 |- ( y `' < x <-> x < y )
15		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
16	6, 15	brcnv 5305	. . . . . . . . . 10 |- ( y `' < z <-> z < y )
17	16	rexbii 3041	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. A y `' < z <-> E. z e. A z < y )
18	14, 17	imbi12i 340	. . . . . . . 8 |- ( ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) <-> ( x < y -> E. z e. A z < y ) )
19	18	ralbii 2980	. . . . . . 7 |- ( A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) <-> A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) )
20	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) <-> A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
21	13, 20	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) <-> ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) )
22	21	rabbidva 3188	. . . 4 |- ( A C_ RR -> { x e. RR | ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) } = { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )
23	22	unieqd 4446	. . 3 |- ( A C_ RR -> U. { x e. RR | ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) } = U. { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )
24	2, 23	syl5eq 2668	. 2 |- ( A C_ RR -> sup ( A , RR , `' < ) = U. { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )
25	1, 24	syl5eq 2668	1 |- ( A C_ RR -> inf ( A , RR , < ) = U. { x e. RR | ( A. y e. A x <_ y /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   supcsup 8346  infcinf 8347   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-sup 8348  df-inf 8349  df-xr 10078  df-le 10080

This theorem is referenced by: (None)