Theorem dftr6 31640

Description: A potential definition of transitivity for sets. (Contributed by Scott Fenton, 18-Mar-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
dftr6.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
dftr6	|- ( Tr A <-> A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) )

Proof of Theorem dftr6

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr6.1	. . . . 5 |- A e. _V
2	1	elrn 5366	. . . 4 |- ( A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) <-> E. x x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A )
3		brdif 4705	. . . . . 6 |- ( x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A <-> ( x ( _E o. _E ) A /\ -. x _E A ) )
4		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
5	4, 1	brco 5292	. . . . . . . 8 |- ( x ( _E o. _E ) A <-> E. y ( x _E y /\ y _E A ) )
6		epel 5032	. . . . . . . . . 10 |- ( x _E y <-> x e. y )
7	1	epelc 5031	. . . . . . . . . 10 |- ( y _E A <-> y e. A )
8	6, 7	anbi12i 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( x _E y /\ y _E A ) <-> ( x e. y /\ y e. A ) )
9	8	exbii 1774	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( x _E y /\ y _E A ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
10	5, 9	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( x ( _E o. _E ) A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
11	1	epelc 5031	. . . . . . . 8 |- ( x _E A <-> x e. A )
12	11	notbii 310	. . . . . . 7 |- ( -. x _E A <-> -. x e. A )
13	10, 12	anbi12i 733	. . . . . 6 |- ( ( x ( _E o. _E ) A /\ -. x _E A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) )
14		19.41v 1914	. . . . . . 7 |- ( E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) )
15		exanali 1786	. . . . . . 7 |- ( E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) <-> -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
16	14, 15	bitr3i 266	. . . . . 6 |- ( ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) <-> -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
17	3, 13, 16	3bitri 286	. . . . 5 |- ( x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A <-> -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
18	17	exbii 1774	. . . 4 |- ( E. x x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A <-> E. x -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
19		exnal 1754	. . . 4 |- ( E. x -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> -. A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
20	2, 18, 19	3bitri 286	. . 3 |- ( A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) <-> -. A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
21	20	con2bii 347	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> -. A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) )
22		dftr2 4754	. 2 |- ( Tr A <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
23		eldif 3584	. . 3 |- ( A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) <-> ( A e. _V /\ -. A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) )
24	1, 23	mpbiran 953	. 2 |- ( A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) <-> -. A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) )
25	21, 22, 24	3bitr4i 292	1 |- ( Tr A <-> A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   class class class wbr 4653   Tr wtr 4752   _E cep 5028   ran crn 5115   o. ccom 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by:  eltrans  31998