Theorem difopab 5253

Description: The difference of two ordered-pair abstractions. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
difopab	|- ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) }

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y)

Proof of Theorem difopab

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 5247	. . 3 |- Rel { <. x , y >. | ph }
2		reldif 5238	. . 3 |- ( Rel { <. x , y >. | ph } -> Rel ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- Rel ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } )
4		relopab 5247	. 2 |- Rel { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) }
5		sbcan 3478	. . . 4 |- ( [. z / x ]. ( [. w / y ]. ph /\ [. w / y ]. -. ps ) <-> ( [. z / x ]. [. w / y ]. ph /\ [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps ) )
6		sbcan 3478	. . . . 5 |- ( [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) <-> ( [. w / y ]. ph /\ [. w / y ]. -. ps ) )
7	6	sbcbii 3491	. . . 4 |- ( [. z / x ]. [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) <-> [. z / x ]. ( [. w / y ]. ph /\ [. w / y ]. -. ps ) )
8		opelopabsb 4985	. . . . 5 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ph )
9		vex 3203	. . . . . . 7 |- z e. _V
10		sbcng 3476	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> ( [. z / x ]. -. [. w / y ]. ps <-> -. [. z / x ]. [. w / y ]. ps ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( [. z / x ]. -. [. w / y ]. ps <-> -. [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
12		vex 3203	. . . . . . . 8 |- w e. _V
13		sbcng 3476	. . . . . . . 8 |- ( w e. _V -> ( [. w / y ]. -. ps <-> -. [. w / y ]. ps ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( [. w / y ]. -. ps <-> -. [. w / y ]. ps )
15	14	sbcbii 3491	. . . . . 6 |- ( [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps <-> [. z / x ]. -. [. w / y ]. ps )
16		opelopabsb 4985	. . . . . . 7 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
17	16	notbii 310	. . . . . 6 |- ( -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } <-> -. [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
18	11, 15, 17	3bitr4ri 293	. . . . 5 |- ( -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps )
19	8, 18	anbi12i 733	. . . 4 |- ( ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } /\ -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } ) <-> ( [. z / x ]. [. w / y ]. ph /\ [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps ) )
20	5, 7, 19	3bitr4ri 293	. . 3 |- ( ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } /\ -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } ) <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) )
21		eldif 3584	. . 3 |- ( <. z , w >. e. ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) <-> ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } /\ -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } ) )
22		opelopabsb 4985	. . 3 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) )
23	20, 21, 22	3bitr4i 292	. 2 |- ( <. z , w >. e. ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) <-> <. z , w >. e. { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) } )
24	3, 4, 23	eqrelriiv 5214	1 |- ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) }

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   \ cdif 3571   <.cop 4183   {copab 4712   Rel wrel 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121

This theorem is referenced by:  dfnelbr2  41290