Theorem difsnexi 6970

Description: If the difference of a class and a singleton is a set, the class itself is a set. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
difsnexi	|- ( ( N \ { K } ) e. _V -> N e. _V )

Proof of Theorem difsnexi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( K e. N /\ ( N \ { K } ) e. _V ) -> ( N \ { K } ) e. _V )
2		snex 4908	. . . . 5 |- { K } e. _V
3		unexg 6959	. . . . 5 |- ( ( ( N \ { K } ) e. _V /\ { K } e. _V ) -> ( ( N \ { K } ) u. { K } ) e. _V )
4	1, 2, 3	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( K e. N /\ ( N \ { K } ) e. _V ) -> ( ( N \ { K } ) u. { K } ) e. _V )
5		difsnid 4341	. . . . . . 7 |- ( K e. N -> ( ( N \ { K } ) u. { K } ) = N )
6	5	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( K e. N -> N = ( ( N \ { K } ) u. { K } ) )
7	6	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( K e. N -> ( N e. _V <-> ( ( N \ { K } ) u. { K } ) e. _V ) )
8	7	adantr 481	. . . 4 |- ( ( K e. N /\ ( N \ { K } ) e. _V ) -> ( N e. _V <-> ( ( N \ { K } ) u. { K } ) e. _V ) )
9	4, 8	mpbird 247	. . 3 |- ( ( K e. N /\ ( N \ { K } ) e. _V ) -> N e. _V )
10	9	ex 450	. 2 |- ( K e. N -> ( ( N \ { K } ) e. _V -> N e. _V ) )
11		difsn 4328	. . . 4 |- ( -. K e. N -> ( N \ { K } ) = N )
12	11	eleq1d 2686	. . 3 |- ( -. K e. N -> ( ( N \ { K } ) e. _V <-> N e. _V ) )
13	12	biimpd 219	. 2 |- ( -. K e. N -> ( ( N \ { K } ) e. _V -> N e. _V ) )
14	10, 13	pm2.61i 176	1 |- ( ( N \ { K } ) e. _V -> N e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   {csn 4177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437

This theorem is referenced by:  pmtrdifellem1  17896  pmtrdifellem2  17897  tgdif0  20796