Theorem dirtr 17236

Description: A direction is transitive. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dirtr	|- ( ( ( R e. DirRel /\ C e. V ) /\ ( A R B /\ B R C ) ) -> A R C )

Proof of Theorem dirtr

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldir 17233	. . . . 5 |- ( R e. DirRel -> Rel R )
2		brrelex 5156	. . . . . . 7 |- ( ( Rel R /\ A R B ) -> A e. _V )
3	2	ex 450	. . . . . 6 |- ( Rel R -> ( A R B -> A e. _V ) )
4		brrelex 5156	. . . . . . 7 |- ( ( Rel R /\ B R C ) -> B e. _V )
5	4	ex 450	. . . . . 6 |- ( Rel R -> ( B R C -> B e. _V ) )
6	3, 5	anim12d 586	. . . . 5 |- ( Rel R -> ( ( A R B /\ B R C ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) ) )
7	1, 6	syl 17	. . . 4 |- ( R e. DirRel -> ( ( A R B /\ B R C ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) ) )
8		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- U. U. R = U. U. R
9	8	isdir 17232	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. DirRel -> ( R e. DirRel <-> ( ( Rel R /\ ( _I |` U. U. R ) C_ R ) /\ ( ( R o. R ) C_ R /\ ( U. U. R X. U. U. R ) C_ ( `' R o. R ) ) ) ) )
10	9	ibi 256	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. DirRel -> ( ( Rel R /\ ( _I |` U. U. R ) C_ R ) /\ ( ( R o. R ) C_ R /\ ( U. U. R X. U. U. R ) C_ ( `' R o. R ) ) ) )
11	10	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( R e. DirRel -> ( ( R o. R ) C_ R /\ ( U. U. R X. U. U. R ) C_ ( `' R o. R ) ) )
12	11	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( R e. DirRel -> ( R o. R ) C_ R )
13		cotr 5508	. . . . . . . 8 |- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
14	12, 13	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( R e. DirRel -> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
15		breq12 4658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( x R y <-> A R B ) )
16	15	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( x R y <-> A R B ) )
17		breq12 4658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y = B /\ z = C ) -> ( y R z <-> B R C ) )
18	17	3adant1 1079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( y R z <-> B R C ) )
19	16, 18	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( ( x R y /\ y R z ) <-> ( A R B /\ B R C ) ) )
20		breq12 4658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = A /\ z = C ) -> ( x R z <-> A R C ) )
21	20	3adant2 1080	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( x R z <-> A R C ) )
22	19, 21	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) <-> ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) ) )
23	22	spc3gv 3298	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ C e. V ) -> ( A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) -> ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) ) )
24	14, 23	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ C e. V ) -> ( R e. DirRel -> ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) ) )
25	24	3expia 1267	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( C e. V -> ( R e. DirRel -> ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) ) ) )
26	25	com4t 93	. . . 4 |- ( R e. DirRel -> ( ( A R B /\ B R C ) -> ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( C e. V -> A R C ) ) ) )
27	7, 26	mpdd 43	. . 3 |- ( R e. DirRel -> ( ( A R B /\ B R C ) -> ( C e. V -> A R C ) ) )
28	27	imp31 448	. 2 |- ( ( ( R e. DirRel /\ ( A R B /\ B R C ) ) /\ C e. V ) -> A R C )
29	28	an32s 846	1 |- ( ( ( R e. DirRel /\ C e. V ) /\ ( A R B /\ B R C ) ) -> A R C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   _I cid 5023   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   DirRelcdir 17228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-res 5126  df-dir 17230

This theorem is referenced by:  tailfb  32372