Theorem spc3gv 3298

Description: Specialization with three quantifiers, using implicit substitution. (Contributed by NM, 12-May-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
spc3egv.1	|- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
spc3gv	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( A. x A. y A. z ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   ps, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   V( x, y, z)   W( x, y, z)   X( x, y, z)

Proof of Theorem spc3gv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spc3egv.1	. . . . 5 |- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( ph <-> ps ) )
2	1	notbid 308	. . . 4 |- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( -. ph <-> -. ps ) )
3	2	spc3egv 3297	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( -. ps -> E. x E. y E. z -. ph ) )
4		exnal 1754	. . . . . . 7 |- ( E. z -. ph <-> -. A. z ph )
5	4	exbii 1774	. . . . . 6 |- ( E. y E. z -. ph <-> E. y -. A. z ph )
6		exnal 1754	. . . . . 6 |- ( E. y -. A. z ph <-> -. A. y A. z ph )
7	5, 6	bitri 264	. . . . 5 |- ( E. y E. z -. ph <-> -. A. y A. z ph )
8	7	exbii 1774	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z -. ph <-> E. x -. A. y A. z ph )
9		exnal 1754	. . . 4 |- ( E. x -. A. y A. z ph <-> -. A. x A. y A. z ph )
10	8, 9	bitr2i 265	. . 3 |- ( -. A. x A. y A. z ph <-> E. x E. y E. z -. ph )
11	3, 10	syl6ibr 242	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( -. ps -> -. A. x A. y A. z ph ) )
12	11	con4d 114	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( A. x A. y A. z ph -> ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-v 3202

This theorem is referenced by:  funopg  5922  pslem  17206  dirtr  17236  mclsax  31466  fununiq  31667