Theorem dirge 17237

Description: For any two elements of a directed set, there exists a third element greater than or equal to both. (Note that this does not say that the two elements have a least upper bound.) (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dirge.1	|- X = dom R

Assertion

Ref	Expression
dirge	|- ( ( R e. DirRel /\ A e. X /\ B e. X ) -> E. x e. X ( A R x /\ B R x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, R   x, X

Proof of Theorem dirge

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirge.1	. . . . . . 7 |- X = dom R
2		dirdm 17234	. . . . . . 7 |- ( R e. DirRel -> dom R = U. U. R )
3	1, 2	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( R e. DirRel -> X = U. U. R )
4	3	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( R e. DirRel -> ( A e. X <-> A e. U. U. R ) )
5	3	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( R e. DirRel -> ( B e. X <-> B e. U. U. R ) )
6	4, 5	anbi12d 747	. . . 4 |- ( R e. DirRel -> ( ( A e. X /\ B e. X ) <-> ( A e. U. U. R /\ B e. U. U. R ) ) )
7		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- U. U. R = U. U. R
8	7	isdir 17232	. . . . . . . 8 |- ( R e. DirRel -> ( R e. DirRel <-> ( ( Rel R /\ ( _I |` U. U. R ) C_ R ) /\ ( ( R o. R ) C_ R /\ ( U. U. R X. U. U. R ) C_ ( `' R o. R ) ) ) ) )
9	8	ibi 256	. . . . . . 7 |- ( R e. DirRel -> ( ( Rel R /\ ( _I |` U. U. R ) C_ R ) /\ ( ( R o. R ) C_ R /\ ( U. U. R X. U. U. R ) C_ ( `' R o. R ) ) ) )
10	9	simprrd 797	. . . . . 6 |- ( R e. DirRel -> ( U. U. R X. U. U. R ) C_ ( `' R o. R ) )
11		codir 5516	. . . . . 6 |- ( ( U. U. R X. U. U. R ) C_ ( `' R o. R ) <-> A. y e. U. U. R A. z e. U. U. R E. x ( y R x /\ z R x ) )
12	10, 11	sylib 208	. . . . 5 |- ( R e. DirRel -> A. y e. U. U. R A. z e. U. U. R E. x ( y R x /\ z R x ) )
13		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( y R x <-> A R x ) )
14	13	anbi1d 741	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( ( y R x /\ z R x ) <-> ( A R x /\ z R x ) ) )
15	14	exbidv 1850	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( E. x ( y R x /\ z R x ) <-> E. x ( A R x /\ z R x ) ) )
16		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> ( z R x <-> B R x ) )
17	16	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( z = B -> ( ( A R x /\ z R x ) <-> ( A R x /\ B R x ) ) )
18	17	exbidv 1850	. . . . . 6 |- ( z = B -> ( E. x ( A R x /\ z R x ) <-> E. x ( A R x /\ B R x ) ) )
19	15, 18	rspc2v 3322	. . . . 5 |- ( ( A e. U. U. R /\ B e. U. U. R ) -> ( A. y e. U. U. R A. z e. U. U. R E. x ( y R x /\ z R x ) -> E. x ( A R x /\ B R x ) ) )
20	12, 19	syl5com 31	. . . 4 |- ( R e. DirRel -> ( ( A e. U. U. R /\ B e. U. U. R ) -> E. x ( A R x /\ B R x ) ) )
21	6, 20	sylbid 230	. . 3 |- ( R e. DirRel -> ( ( A e. X /\ B e. X ) -> E. x ( A R x /\ B R x ) ) )
22		reldir 17233	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. DirRel -> Rel R )
23		relelrn 5359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Rel R /\ A R x ) -> x e. ran R )
24	22, 23	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. DirRel /\ A R x ) -> x e. ran R )
25	24	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( R e. DirRel -> ( A R x -> x e. ran R ) )
26		ssun2 3777	. . . . . . . . . . 11 |- ran R C_ ( dom R u. ran R )
27		dmrnssfld 5384	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R
28	26, 27	sstri 3612	. . . . . . . . . 10 |- ran R C_ U. U. R
29	28, 3	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . 9 |- ( R e. DirRel -> ran R C_ X )
30	29	sseld 3602	. . . . . . . 8 |- ( R e. DirRel -> ( x e. ran R -> x e. X ) )
31	25, 30	syld 47	. . . . . . 7 |- ( R e. DirRel -> ( A R x -> x e. X ) )
32	31	adantrd 484	. . . . . 6 |- ( R e. DirRel -> ( ( A R x /\ B R x ) -> x e. X ) )
33	32	ancrd 577	. . . . 5 |- ( R e. DirRel -> ( ( A R x /\ B R x ) -> ( x e. X /\ ( A R x /\ B R x ) ) ) )
34	33	eximdv 1846	. . . 4 |- ( R e. DirRel -> ( E. x ( A R x /\ B R x ) -> E. x ( x e. X /\ ( A R x /\ B R x ) ) ) )
35		df-rex 2918	. . . 4 |- ( E. x e. X ( A R x /\ B R x ) <-> E. x ( x e. X /\ ( A R x /\ B R x ) ) )
36	34, 35	syl6ibr 242	. . 3 |- ( R e. DirRel -> ( E. x ( A R x /\ B R x ) -> E. x e. X ( A R x /\ B R x ) ) )
37	21, 36	syld 47	. 2 |- ( R e. DirRel -> ( ( A e. X /\ B e. X ) -> E. x e. X ( A R x /\ B R x ) ) )
38	37	3impib 1262	1 |- ( ( R e. DirRel /\ A e. X /\ B e. X ) -> E. x e. X ( A R x /\ B R x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   _I cid 5023   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   DirRelcdir 17228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-dir 17230

This theorem is referenced by:  tailfb  32372