Theorem ditgex 23616

Description: A directed integral is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ditgex	|- S__ [ A -> B ] C _d x e. _V

Proof of Theorem ditgex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ditg 23611	. 2 |- S__ [ A -> B ] C _d x = if ( A <_ B , S. ( A (,) B ) C _d x , -u S. ( B (,) A ) C _d x )
2		itgex 23537	. . 3 |- S. ( A (,) B ) C _d x e. _V
3		negex 10279	. . 3 |- -u S. ( B (,) A ) C _d x e. _V
4	2, 3	ifex 4156	. 2 |- if ( A <_ B , S. ( A (,) B ) C _d x , -u S. ( B (,) A ) C _d x ) e. _V
5	1, 4	eqeltri 2697	1 |- S__ [ A -> B ] C _d x e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ifcif 4086   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   <_ cle 10075   -ucneg 10267   (,)cioo 12175   S.citg 23387   S__cdit 23610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-neg 10269  df-sum 14417  df-itg 23392  df-ditg 23611

This theorem is referenced by:  itgsubstlem  23811