Theorem itgsubstlem 23811

Description: Lemma for itgsubst 23812. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsubst.x	|- ( ph -> X e. RR )
itgsubst.y	|- ( ph -> Y e. RR )
itgsubst.le	|- ( ph -> X <_ Y )
itgsubst.z	|- ( ph -> Z e. RR* )
itgsubst.w	|- ( ph -> W e. RR* )
itgsubst.a	|- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
itgsubst.b	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
itgsubst.c	|- ( ph -> ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) )
itgsubst.da	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
itgsubst.e	|- ( u = A -> C = E )
itgsubst.k	|- ( x = X -> A = K )
itgsubst.l	|- ( x = Y -> A = L )
itgsubst.m	|- ( ph -> M e. ( Z (,) W ) )
itgsubst.n	|- ( ph -> N e. ( Z (,) W ) )
itgsubst.cl2	|- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> A e. ( M (,) N ) )

Assertion

Ref	Expression
itgsubstlem	|- ( ph -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )

Distinct variable groups:   u, E   x, u, K   u, M, x   ph, u, x   u, X, x   u, Y, x   u, A   x, C   u, W, x   u, L, x   u, N, x   u, Z, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, u)   C( u)   E( x)

Proof of Theorem itgsubstlem

Dummy variables y z t v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgsubst.le	. . 3 |- ( ph -> X <_ Y )
2	1	ditgpos 23620	. 2 |- ( ph -> S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( E x. B ) _d x )
3		itgsubst.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. RR )
4		itgsubst.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. RR )
5		ax-resscn 9993	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR C_ CC )
7		iccssre 12255	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( X [,] Y ) C_ RR )
8	3, 4, 7	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X [,] Y ) C_ RR )
9		itgsubst.cl2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> A e. ( M (,) N ) )
10		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) )
11		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( v e. ( M (,) N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u ) = ( v e. ( M (,) N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u ) )
12		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = A -> ( M (,) v ) = ( M (,) A ) )
13		itgeq1 23539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M (,) v ) = ( M (,) A ) -> S. ( M (,) v ) C _d u = S. ( M (,) A ) C _d u )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = A -> S. ( M (,) v ) C _d u = S. ( M (,) A ) C _d u )
15	9, 10, 11, 14	fmptco 6396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( v e. ( M (,) N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u ) o. ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> A )
17	9, 16	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N ) )
18		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M (,) N ) C_ ( M [,] N )
19		itgsubst.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Z e. RR* )
20		itgsubst.w	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> W e. RR* )
21		itgsubst.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> M e. ( Z (,) W ) )
22		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( M e. ( Z (,) W ) -> ( Z < M /\ M < W ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Z < M /\ M < W ) )
24	23	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Z < M )
25		itgsubst.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> N e. ( Z (,) W ) )
26		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( Z (,) W ) -> ( Z < N /\ N < W ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Z < N /\ N < W ) )
28	27	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N < W )
29		iccssioo 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Z e. RR* /\ W e. RR* ) /\ ( Z < M /\ N < W ) ) -> ( M [,] N ) C_ ( Z (,) W ) )
30	19, 20, 24, 28, 29	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ ( Z (,) W ) )
31	18, 30	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M (,) N ) C_ ( Z (,) W ) )
32		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Z (,) W ) C_ RR
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Z (,) W ) C_ RR )
34	33, 5	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Z (,) W ) C_ CC )
35	31, 34	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M (,) N ) C_ CC )
36		itgsubst.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
37		cncffvrn 22701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M (,) N ) C_ CC /\ ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( M (,) N ) ) <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N ) ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( M (,) N ) ) <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N ) ) )
39	17, 38	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( M (,) N ) ) )
40	18	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( M (,) N ) -> v e. ( M [,] N ) )
41	32, 25	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> N e. RR )
42	41	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> N e. RR* )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ v e. ( M [,] N ) ) -> N e. RR* )
44	32, 21	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> M e. RR )
45		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( v e. ( M [,] N ) <-> ( v e. RR /\ M <_ v /\ v <_ N ) ) )
46	44, 41, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( v e. ( M [,] N ) <-> ( v e. RR /\ M <_ v /\ v <_ N ) ) )
47	46	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ v e. ( M [,] N ) ) -> ( v e. RR /\ M <_ v /\ v <_ N ) )
48	47	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ v e. ( M [,] N ) ) -> v <_ N )
49		iooss2 12211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. RR* /\ v <_ N ) -> ( M (,) v ) C_ ( M (,) N ) )
50	43, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ v e. ( M [,] N ) ) -> ( M (,) v ) C_ ( M (,) N ) )
51	50	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ v e. ( M [,] N ) ) /\ u e. ( M (,) v ) ) -> u e. ( M (,) N ) )
52	31	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ u e. ( M (,) N ) ) -> u e. ( Z (,) W ) )
53		itgsubst.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) )
54		cncff 22696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) -> ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) : ( Z (,) W ) --> CC )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) : ( Z (,) W ) --> CC )
56		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) = ( u e. ( Z (,) W ) |-> C )
57	56	fmpt 6381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. u e. ( Z (,) W ) C e. CC <-> ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) : ( Z (,) W ) --> CC )
58	55, 57	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A. u e. ( Z (,) W ) C e. CC )
59	58	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ u e. ( Z (,) W ) ) -> C e. CC )
60	52, 59	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. ( M (,) N ) ) -> C e. CC )
61	60	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ v e. ( M [,] N ) ) /\ u e. ( M (,) N ) ) -> C e. CC )
62	51, 61	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ v e. ( M [,] N ) ) /\ u e. ( M (,) v ) ) -> C e. CC )
63		ioombl 23333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M (,) v ) e. dom vol
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. ( M [,] N ) ) -> ( M (,) v ) e. dom vol )
65	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( M (,) N ) C_ ( M [,] N ) )
66		ioombl 23333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M (,) N ) e. dom vol
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( M (,) N ) e. dom vol )
68	30	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ u e. ( M [,] N ) ) -> u e. ( Z (,) W ) )
69	68, 59	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ u e. ( M [,] N ) ) -> C e. CC )
70	30	resmptd 5452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) |` ( M [,] N ) ) = ( u e. ( M [,] N ) |-> C ) )
71		rescncf 22700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M [,] N ) C_ ( Z (,) W ) -> ( ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) -> ( ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) |` ( M [,] N ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) ) )
72	30, 53, 71	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) |` ( M [,] N ) ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
73	70, 72	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( u e. ( M [,] N ) |-> C ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
74		cniccibl 23607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ ( u e. ( M [,] N ) |-> C ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) ) -> ( u e. ( M [,] N ) |-> C ) e. L^1 )
75	44, 41, 73, 74	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( u e. ( M [,] N ) |-> C ) e. L^1 )
76	65, 67, 69, 75	iblss 23571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) e. L^1 )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. ( M [,] N ) ) -> ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) e. L^1 )
78	50, 64, 61, 77	iblss 23571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. ( M [,] N ) ) -> ( u e. ( M (,) v ) |-> C ) e. L^1 )
79	62, 78	itgcl 23550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. ( M [,] N ) ) -> S. ( M (,) v ) C _d u e. CC )
80	40, 79	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( M (,) N ) ) -> S. ( M (,) v ) C _d u e. CC )
81		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. ( M (,) N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u ) = ( v e. ( M (,) N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u )
82	80, 81	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( v e. ( M (,) N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u ) : ( M (,) N ) --> CC )
83	31, 32	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M (,) N ) C_ RR )
84		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = u -> ( ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) ` t ) = ( ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) ` u ) )
85		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ u ( ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) ` t )
86		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ t ( ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) ` u )
87	84, 85, 86	cbvitg 23542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- S. ( M (,) v ) ( ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) ` t ) _d t = S. ( M (,) v ) ( ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) ` u ) _d u
88		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) = ( u e. ( M (,) N ) |-> C )
89	88	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( u e. ( M (,) N ) /\ C e. CC ) -> ( ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) ` u ) = C )
90	51, 62, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ v e. ( M [,] N ) ) /\ u e. ( M (,) v ) ) -> ( ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) ` u ) = C )
91	90	itgeq2dv 23548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ v e. ( M [,] N ) ) -> S. ( M (,) v ) ( ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) ` u ) _d u = S. ( M (,) v ) C _d u )
92	87, 91	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ v e. ( M [,] N ) ) -> S. ( M (,) v ) ( ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) ` t ) _d t = S. ( M (,) v ) C _d u )
93	92	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( v e. ( M [,] N ) |-> S. ( M (,) v ) ( ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) ` t ) _d t ) = ( v e. ( M [,] N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u ) )
94	93	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( RR _D ( v e. ( M [,] N ) |-> S. ( M (,) v ) ( ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) ` t ) _d t ) ) = ( RR _D ( v e. ( M [,] N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u ) ) )
95		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. ( M [,] N ) |-> S. ( M (,) v ) ( ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) ` t ) _d t ) = ( v e. ( M [,] N ) |-> S. ( M (,) v ) ( ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) ` t ) _d t )
96	3	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> X e. RR* )
97	4	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> Y e. RR* )
98		lbicc2 12288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( X e. RR* /\ Y e. RR* /\ X <_ Y ) -> X e. ( X [,] Y ) )
99	96, 97, 1, 98	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> X e. ( X [,] Y ) )
100		n0i 3920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( X e. ( X [,] Y ) -> -. ( X [,] Y ) = (/) )
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> -. ( X [,] Y ) = (/) )
102		feq3 6028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M (,) N ) = (/) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N ) <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> (/) ) )
103	17, 102	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( M (,) N ) = (/) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> (/) ) )
104		f00 6087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> (/) <-> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) = (/) /\ ( X [,] Y ) = (/) ) )
105	104	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> (/) -> ( X [,] Y ) = (/) )
106	103, 105	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( M (,) N ) = (/) -> ( X [,] Y ) = (/) ) )
107	101, 106	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> -. ( M (,) N ) = (/) )
108	44	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> M e. RR* )
109		ioo0 12200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. RR* /\ N e. RR* ) -> ( ( M (,) N ) = (/) <-> N <_ M ) )
110	108, 42, 109	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( M (,) N ) = (/) <-> N <_ M ) )
111	107, 110	mtbid 314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> -. N <_ M )
112	41, 44	letrid 10189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( N <_ M \/ M <_ N ) )
113	112	ord 392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( -. N <_ M -> M <_ N ) )
114	111, 113	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> M <_ N )
115		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M (,) N ) C_ ( M [,] N ) -> ( ( u e. ( M [,] N ) |-> C ) |` ( M (,) N ) ) = ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) )
116	18, 115	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u e. ( M [,] N ) |-> C ) |` ( M (,) N ) ) = ( u e. ( M (,) N ) |-> C )
117		rescncf 22700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M (,) N ) C_ ( M [,] N ) -> ( ( u e. ( M [,] N ) |-> C ) e. ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) -> ( ( u e. ( M [,] N ) |-> C ) |` ( M (,) N ) ) e. ( ( M (,) N ) -cn-> CC ) ) )
118	18, 73, 117	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( u e. ( M [,] N ) |-> C ) |` ( M (,) N ) ) e. ( ( M (,) N ) -cn-> CC ) )
119	116, 118	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) e. ( ( M (,) N ) -cn-> CC ) )
120	95, 44, 41, 114, 119, 76	ftc1cn 23806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( RR _D ( v e. ( M [,] N ) |-> S. ( M (,) v ) ( ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) ` t ) _d t ) ) = ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) )
121	30, 32	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( M [,] N ) C_ RR )
122		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
123	122	tgioo2 22606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
124		iccntr 22624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( M [,] N ) ) = ( M (,) N ) )
125	44, 41, 124	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( M [,] N ) ) = ( M (,) N ) )
126	6, 121, 79, 123, 122, 125	dvmptntr 23734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( RR _D ( v e. ( M [,] N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u ) ) = ( RR _D ( v e. ( M (,) N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u ) ) )
127	94, 120, 126	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( RR _D ( v e. ( M (,) N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u ) ) = ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) )
128	127	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( RR _D ( v e. ( M (,) N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u ) ) = dom ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) )
129	88, 60	dmmptd 6024	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) = ( M (,) N ) )
130	128, 129	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom ( RR _D ( v e. ( M (,) N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u ) ) = ( M (,) N ) )
131		dvcn 23684	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( v e. ( M (,) N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u ) : ( M (,) N ) --> CC /\ ( M (,) N ) C_ RR ) /\ dom ( RR _D ( v e. ( M (,) N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u ) ) = ( M (,) N ) ) -> ( v e. ( M (,) N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u ) e. ( ( M (,) N ) -cn-> CC ) )
132	6, 82, 83, 130, 131	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( v e. ( M (,) N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u ) e. ( ( M (,) N ) -cn-> CC ) )
133	39, 132	cncfco 22710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( v e. ( M (,) N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u ) o. ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
134	15, 133	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
135		cncff 22696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) : ( X [,] Y ) --> CC )
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) : ( X [,] Y ) --> CC )
137		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u )
138	137	fmpt 6381	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( X [,] Y ) S. ( M (,) A ) C _d u e. CC <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) : ( X [,] Y ) --> CC )
139	136, 138	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( X [,] Y ) S. ( M (,) A ) C _d u e. CC )
140	139	r19.21bi 2932	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> S. ( M (,) A ) C _d u e. CC )
141		iccntr 22624	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( X [,] Y ) ) = ( X (,) Y ) )
142	3, 4, 141	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( X [,] Y ) ) = ( X (,) Y ) )
143	6, 8, 140, 123, 122, 142	dvmptntr 23734	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ) = ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ) )
144		reelprrecn 10028	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
145	144	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
146		ioossicc 12259	. . . . . . . . 9 |- ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y )
147	146	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( X (,) Y ) -> x e. ( X [,] Y ) )
148	147, 9	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> A e. ( M (,) N ) )
149		itgsubst.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
150		elin 3796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) <-> ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) /\ ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. L^1 ) )
151	149, 150	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) /\ ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. L^1 ) )
152	151	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
153		cncff 22696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
154	152, 153	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
155		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B )
156	155	fmpt 6381	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( X (,) Y ) B e. CC <-> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
157	154, 156	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( X (,) Y ) B e. CC )
158	157	r19.21bi 2932	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> B e. CC )
159	60, 88	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) : ( M (,) N ) --> CC )
160		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ v C
161		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ u [_ v / u ]_ C
162		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = v -> C = [_ v / u ]_ C )
163	160, 161, 162	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) = ( v e. ( M (,) N ) |-> [_ v / u ]_ C )
164	163	fmpt 6381	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. ( M (,) N ) [_ v / u ]_ C e. CC <-> ( u e. ( M (,) N ) |-> C ) : ( M (,) N ) --> CC )
165	159, 164	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. v e. ( M (,) N ) [_ v / u ]_ C e. CC )
166	165	r19.21bi 2932	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( M (,) N ) ) -> [_ v / u ]_ C e. CC )
167	32, 5	sstri 3612	. . . . . . . . . 10 |- ( Z (,) W ) C_ CC
168		cncff 22696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
169	36, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
170	16	fmpt 6381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( Z (,) W ) <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
171	169, 170	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( Z (,) W ) )
172	171	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> A e. ( Z (,) W ) )
173	167, 172	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> A e. CC )
174	6, 8, 173, 123, 122, 142	dvmptntr 23734	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) ) )
175		itgsubst.da	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
176	174, 175	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
177	127, 163	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( v e. ( M (,) N ) |-> S. ( M (,) v ) C _d u ) ) = ( v e. ( M (,) N ) |-> [_ v / u ]_ C ) )
178		csbeq1 3536	. . . . . . 7 |- ( v = A -> [_ v / u ]_ C = [_ A / u ]_ C )
179	145, 145, 148, 158, 80, 166, 176, 177, 14, 178	dvmptco 23735	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X (,) Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( [_ A / u ]_ C x. B ) ) )
180		nfcvd 2765	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( M (,) N ) -> F/_ u E )
181		itgsubst.e	. . . . . . . . . 10 |- ( u = A -> C = E )
182	180, 181	csbiegf 3557	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( M (,) N ) -> [_ A / u ]_ C = E )
183	148, 182	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> [_ A / u ]_ C = E )
184	183	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( [_ A / u ]_ C x. B ) = ( E x. B ) )
185	184	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( [_ A / u ]_ C x. B ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( E x. B ) ) )
186	143, 179, 185	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( E x. B ) ) )
187		resmpt 5449	. . . . . . . 8 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) )
188	146, 187	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) |` ( X (,) Y ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> E )
189		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) = ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) )
190	172, 10, 189, 181	fmptco 6396	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) o. ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) )
191	36, 53	cncfco 22710	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) o. ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
192	190, 191	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
193		rescncf 22700	. . . . . . . 8 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
194	146, 192, 193	mpsyl 68	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) |` ( X (,) Y ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
195	188, 194	syl5eqelr 2706	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
196	195, 152	mulcncf 23215	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( E x. B ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
197	186, 196	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ) e. ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
198		ioombl 23333	. . . . . . . 8 |- ( X (,) Y ) e. dom vol
199	198	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X (,) Y ) e. dom vol )
200		fco 6058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) : ( Z (,) W ) --> CC /\ ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) ) -> ( ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) o. ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) : ( X [,] Y ) --> CC )
201	55, 169, 200	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) o. ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) : ( X [,] Y ) --> CC )
202	190	feq1d 6030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) o. ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) : ( X [,] Y ) --> CC <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) : ( X [,] Y ) --> CC ) )
203	201, 202	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) : ( X [,] Y ) --> CC )
204		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> E )
205	204	fmpt 6381	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( X [,] Y ) E e. CC <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) : ( X [,] Y ) --> CC )
206	203, 205	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. ( X [,] Y ) E e. CC )
207	206	r19.21bi 2932	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> E e. CC )
208	147, 207	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> E e. CC )
209		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) )
210		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
211	199, 208, 158, 209, 210	offval2 6914	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) oF x. ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( E x. B ) ) )
212	186, 211	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ) = ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) oF x. ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) ) )
213	146	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) )
214		cniccibl 23607	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR /\ ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) e. L^1 )
215	3, 4, 192, 214	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) e. L^1 )
216	213, 199, 207, 215	iblss 23571	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) e. L^1 )
217		iblmbf 23534	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) e. L^1 -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) e. MblFn )
218	216, 217	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) e. MblFn )
219	151	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. L^1 )
220		cniccbdd 23230	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR /\ ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) ) -> E. y e. RR A. z e. ( X [,] Y ) ( abs ` ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y )
221	3, 4, 192, 220	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. y e. RR A. z e. ( X [,] Y ) ( abs ` ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y )
222		ssralv 3666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( abs ` ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y -> A. z e. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y ) )
223	146, 222	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ( X [,] Y ) ( abs ` ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y -> A. z e. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y )
224		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> E )
225	224, 208	dmmptd 6024	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) = ( X (,) Y ) )
226	225	raleqdv 3144	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. z e. dom ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) ( abs ` ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y <-> A. z e. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y ) )
227	188	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) |` ( X (,) Y ) ) ` z ) = ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) ` z )
228		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( X (,) Y ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) |` ( X (,) Y ) ) ` z ) = ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) ` z ) )
229	227, 228	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( X (,) Y ) -> ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) ` z ) = ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) ` z ) )
230	229	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( X (,) Y ) -> ( abs ` ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) ` z ) ) = ( abs ` ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) ` z ) ) )
231	230	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( X (,) Y ) -> ( ( abs ` ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y <-> ( abs ` ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y ) )
232	231	ralbiia 2979	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y <-> A. z e. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y )
233	226, 232	syl6rbb 277	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. z e. ( X (,) Y ) ( abs ` ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y <-> A. z e. dom ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) ( abs ` ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y ) )
234	223, 233	syl5ib 234	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( abs ` ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y -> A. z e. dom ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) ( abs ` ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y ) )
235	234	reximdv 3016	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. z e. ( X [,] Y ) ( abs ` ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y -> E. y e. RR A. z e. dom ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) ( abs ` ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y ) )
236	221, 235	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ph -> E. y e. RR A. z e. dom ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) ( abs ` ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y )
237		bddmulibl 23605	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) e. MblFn /\ ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. L^1 /\ E. y e. RR A. z e. dom ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) ( abs ` ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) ` z ) ) <_ y ) -> ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) oF x. ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) ) e. L^1 )
238	218, 219, 236, 237	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> E ) oF x. ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) ) e. L^1 )
239	212, 238	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ) e. L^1 )
240	3, 4, 1, 197, 239, 134	ftc2 23807	. . 3 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ) ` t ) _d t = ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ` Y ) - ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ` X ) ) )
241		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( t = x -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ) ` t ) = ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ) ` x ) )
242		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x RR
243		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x _D
244		nfmpt1 4747	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u )
245	242, 243, 244	nfov 6676	. . . . . 6 |- F/_ x ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) )
246		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x t
247	245, 246	nffv 6198	. . . . 5 |- F/_ x ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ) ` t )
248		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ t ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ) ` x )
249	241, 247, 248	cbvitg 23542	. . . 4 |- S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ) ` t ) _d t = S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ) ` x ) _d x
250	186	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ) ` x ) = ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( E x. B ) ) ` x ) )
251		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( E x. B ) e. _V
252		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( E x. B ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( E x. B ) )
253	252	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( X (,) Y ) /\ ( E x. B ) e. _V ) -> ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( E x. B ) ) ` x ) = ( E x. B ) )
254	251, 253	mpan2 707	. . . . . 6 |- ( x e. ( X (,) Y ) -> ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> ( E x. B ) ) ` x ) = ( E x. B ) )
255	250, 254	sylan9eq 2676	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ) ` x ) = ( E x. B ) )
256	255	itgeq2dv 23548	. . . 4 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ) ` x ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( E x. B ) _d x )
257	249, 256	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ) ` t ) _d t = S. ( X (,) Y ) ( E x. B ) _d x )
258	18, 9	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> A e. ( M [,] N ) )
259		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( A e. ( M [,] N ) <-> ( A e. RR /\ M <_ A /\ A <_ N ) ) )
260	44, 41, 259	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A e. ( M [,] N ) <-> ( A e. RR /\ M <_ A /\ A <_ N ) ) )
261	260	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> ( A e. ( M [,] N ) <-> ( A e. RR /\ M <_ A /\ A <_ N ) ) )
262	258, 261	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> ( A e. RR /\ M <_ A /\ A <_ N ) )
263	262	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> M <_ A )
264	263	ditgpos 23620	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> S__ [ M -> A ] C _d u = S. ( M (,) A ) C _d u )
265	264	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> S__ [ M -> A ] C _d u ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) )
266	265	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> S__ [ M -> A ] C _d u ) ` Y ) = ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ` Y ) )
267		ubicc2 12289	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. RR* /\ Y e. RR* /\ X <_ Y ) -> Y e. ( X [,] Y ) )
268	96, 97, 1, 267	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( X [,] Y ) )
269		itgsubst.l	. . . . . . . . 9 |- ( x = Y -> A = L )
270		ditgeq2 23613	. . . . . . . . 9 |- ( A = L -> S__ [ M -> A ] C _d u = S__ [ M -> L ] C _d u )
271	269, 270	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x = Y -> S__ [ M -> A ] C _d u = S__ [ M -> L ] C _d u )
272		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> S__ [ M -> A ] C _d u ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> S__ [ M -> A ] C _d u )
273		ditgex 23616	. . . . . . . 8 |- S__ [ M -> L ] C _d u e. _V
274	271, 272, 273	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( Y e. ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> S__ [ M -> A ] C _d u ) ` Y ) = S__ [ M -> L ] C _d u )
275	268, 274	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> S__ [ M -> A ] C _d u ) ` Y ) = S__ [ M -> L ] C _d u )
276	266, 275	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ` Y ) = S__ [ M -> L ] C _d u )
277	265	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> S__ [ M -> A ] C _d u ) ` X ) = ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ` X ) )
278		itgsubst.k	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> A = K )
279		ditgeq2 23613	. . . . . . . . 9 |- ( A = K -> S__ [ M -> A ] C _d u = S__ [ M -> K ] C _d u )
280	278, 279	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> S__ [ M -> A ] C _d u = S__ [ M -> K ] C _d u )
281		ditgex 23616	. . . . . . . 8 |- S__ [ M -> K ] C _d u e. _V
282	280, 272, 281	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( X e. ( X [,] Y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> S__ [ M -> A ] C _d u ) ` X ) = S__ [ M -> K ] C _d u )
283	99, 282	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> S__ [ M -> A ] C _d u ) ` X ) = S__ [ M -> K ] C _d u )
284	277, 283	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ` X ) = S__ [ M -> K ] C _d u )
285	276, 284	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ` Y ) - ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ` X ) ) = ( S__ [ M -> L ] C _d u - S__ [ M -> K ] C _d u ) )
286		lbicc2 12288	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR* /\ N e. RR* /\ M <_ N ) -> M e. ( M [,] N ) )
287	108, 42, 114, 286	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( M [,] N ) )
288	258	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( M [,] N ) )
289	278	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( A e. ( M [,] N ) <-> K e. ( M [,] N ) ) )
290	289	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( X e. ( X [,] Y ) -> ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( M [,] N ) -> K e. ( M [,] N ) ) )
291	99, 288, 290	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. ( M [,] N ) )
292	269	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = Y -> ( A e. ( M [,] N ) <-> L e. ( M [,] N ) ) )
293	292	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( Y e. ( X [,] Y ) -> ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( M [,] N ) -> L e. ( M [,] N ) ) )
294	268, 288, 293	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. ( M [,] N ) )
295	44, 41, 287, 291, 294, 60, 76	ditgsplit 23625	. . . . 5 |- ( ph -> S__ [ M -> L ] C _d u = ( S__ [ M -> K ] C _d u + S__ [ K -> L ] C _d u ) )
296	295	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( S__ [ M -> L ] C _d u - S__ [ M -> K ] C _d u ) = ( ( S__ [ M -> K ] C _d u + S__ [ K -> L ] C _d u ) - S__ [ M -> K ] C _d u ) )
297	44, 41, 287, 291, 60, 76	ditgcl 23622	. . . . 5 |- ( ph -> S__ [ M -> K ] C _d u e. CC )
298	44, 41, 291, 294, 60, 76	ditgcl 23622	. . . . 5 |- ( ph -> S__ [ K -> L ] C _d u e. CC )
299	297, 298	pncan2d 10394	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S__ [ M -> K ] C _d u + S__ [ K -> L ] C _d u ) - S__ [ M -> K ] C _d u ) = S__ [ K -> L ] C _d u )
300	285, 296, 299	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ` Y ) - ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> S. ( M (,) A ) C _d u ) ` X ) ) = S__ [ K -> L ] C _d u )
301	240, 257, 300	3eqtr3d 2664	. 2 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( E x. B ) _d x = S__ [ K -> L ] C _d u )
302	2, 301	eqtr2d 2657	1 |- ( ph -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   abscabs 13974   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   intcnt 20821   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   L^1cibl 23386   S.citg 23387   S__cdit 23610   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-ditg 23611  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  itgsubst  23812