Theorem dmoprabss 6742

Description: The domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmoprabss	|- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem dmoprabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmoprab 6741	. 2 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { <. x , y >. | E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
2		19.42v 1918	. . . 4 |- ( E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z ph ) )
3	2	opabbii 4717	. . 3 |- { <. x , y >. | E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z ph ) }
4		opabssxp 5193	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z ph ) } C_ ( A X. B )
5	3, 4	eqsstri 3635	. 2 |- { <. x , y >. | E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )
6	1, 5	eqsstri 3635	1 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Syntax hints:   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   C_ wss 3574   {copab 4712   X. cxp 5112   dom cdm 5114   {coprab 6651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-dm 5124  df-oprab 6654

This theorem is referenced by:  mpt2ndm0  6875  elmpt2cl  6876  oprabexd  7155  oprabex  7156  bropopvvv  7255  bropfvvvv  7257  dmaddsr  9906  dmmulsr  9907  axaddf  9966  axmulf  9967