Theorem elmpt2cl 6876

Description: If a two-parameter class is not empty, constrain the implicit pair. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
elmpt2cl.f	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
elmpt2cl	|- ( X e. ( S F T ) -> ( S e. A /\ T e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   S( x, y)   T( x, y)   F( x, y)   X( x, y)

Proof of Theorem elmpt2cl

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmpt2cl.f	. . . . . 6 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2		df-mpt2 6655	. . . . . 6 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
3	1, 2	eqtri 2644	. . . . 5 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
4	3	dmeqi 5325	. . . 4 |- dom F = dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
5		dmoprabss 6742	. . . 4 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } C_ ( A X. B )
6	4, 5	eqsstri 3635	. . 3 |- dom F C_ ( A X. B )
7		elfvdm 6220	. . . 4 |- ( X e. ( F ` <. S , T >. ) -> <. S , T >. e. dom F )
8		df-ov 6653	. . . 4 |- ( S F T ) = ( F ` <. S , T >. )
9	7, 8	eleq2s 2719	. . 3 |- ( X e. ( S F T ) -> <. S , T >. e. dom F )
10	6, 9	sseldi 3601	. 2 |- ( X e. ( S F T ) -> <. S , T >. e. ( A X. B ) )
11		opelxp 5146	. 2 |- ( <. S , T >. e. ( A X. B ) <-> ( S e. A /\ T e. B ) )
12	10, 11	sylib 208	1 |- ( X e. ( S F T ) -> ( S e. A /\ T e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   {coprab 6651   |-> cmpt2 6652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655

This theorem is referenced by:  elmpt2cl1  6877  elmpt2cl2  6878  elovmpt2  6879  elovmpt2rab  6880  elovmpt2rab1  6881  el2mpt2csbcl  7250  ixxssixx  12189  funcrcl  16523  natrcl  16610  ismhm  17337  isghm  17660  isga  17724  isslw  18023  isrhm  18721  rimrcl  18724  islmhm  19027  iscn2  21042  elflim2  21768  isfcls  21813  isnmhm  22550  limcrcl  23638  ewlkprop  26499  wwlknbp  26733  wspthnp  26737  wwlks2onv  26847  clwwlknbp0  26884  iscvm  31241  mclsrcl  31458  mgmhmrcl  41781  intop  41839  rnghmrcl  41889  rngimrcl  41897