Theorem bropfvvvv 7257

Description: If a binary relation holds for the result of an operation which is a function value, the involved classes are sets. (Contributed by AV, 31-Dec-2020.) (Revised by AV, 16-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bropfvvvv.o	|- O = ( a e. U |-> ( b e. V , c e. W |-> { <. d , e >. | ph } ) )
bropfvvvv.oo	|- ( ( A e. U /\ B e. S /\ C e. T ) -> ( B ( O ` A ) C ) = { <. d , e >. | th } )
bropfvvvv.s	|- ( a = A -> V = S )
bropfvvvv.t	|- ( a = A -> W = T )
bropfvvvv.p	|- ( a = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
bropfvvvv	|- ( ( S e. X /\ T e. Y ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) )

Distinct variable groups:   U, a   A, a, b, c, d, e   S, a, b, c   T, a, b, c   ps, a

Allowed substitution hints:   ph( e, a, b, c, d)   ps( e, b, c, d)   th( e, a, b, c, d)   B( e, a, b, c, d)   C( e, a, b, c, d)   D( e, a, b, c, d)   S( e, d)   T( e, d)   U( e, b, c, d)   E( e, a, b, c, d)   O( e, a, b, c, d)   V( e, a, b, c, d)   W( e, a, b, c, d)   X( e, a, b, c, d)   Y( e, a, b, c, d)

Proof of Theorem bropfvvvv

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brovpreldm 7254	. 2 |- ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> <. B , C >. e. dom ( O ` A ) )
2		bropfvvvv.o	. . . . . . . . . 10 |- O = ( a e. U |-> ( b e. V , c e. W |-> { <. d , e >. | ph } ) )
3	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. U /\ ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V ) -> O = ( a e. U |-> ( b e. V , c e. W |-> { <. d , e >. | ph } ) ) )
4		bropfvvvv.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> V = S )
5		bropfvvvv.t	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> W = T )
6		bropfvvvv.p	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> ( ph <-> ps ) )
7	6	opabbidv 4716	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> { <. d , e >. | ph } = { <. d , e >. | ps } )
8	4, 5, 7	mpt2eq123dv 6717	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> ( b e. V , c e. W |-> { <. d , e >. | ph } ) = ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. U /\ ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V ) /\ a = A ) -> ( b e. V , c e. W |-> { <. d , e >. | ph } ) = ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) )
10		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. U /\ ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V ) -> A e. U )
11		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. U /\ ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V ) -> ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V )
12	3, 9, 10, 11	fvmptd 6288	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. U /\ ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V ) -> ( O ` A ) = ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) )
13	12	dmeqd 5326	. . . . . . 7 |- ( ( A e. U /\ ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V ) -> dom ( O ` A ) = dom ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) )
14	13	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ( A e. U /\ ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. B , C >. e. dom ( O ` A ) <-> <. B , C >. e. dom ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) ) )
15		dmoprabss 6742	. . . . . . . . 9 |- dom { <. <. b , c >. , z >. | ( ( b e. S /\ c e. T ) /\ z = { <. d , e >. | ps } ) } C_ ( S X. T )
16	15	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( <. B , C >. e. dom { <. <. b , c >. , z >. | ( ( b e. S /\ c e. T ) /\ z = { <. d , e >. | ps } ) } -> <. B , C >. e. ( S X. T ) )
17		bropfvvvv.oo	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. U /\ B e. S /\ C e. T ) -> ( B ( O ` A ) C ) = { <. d , e >. | th } )
18	2, 17	bropfvvvvlem 7256	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. B , C >. e. ( S X. T ) /\ D ( B ( O ` A ) C ) E ) -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) )
19	18	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( <. B , C >. e. ( S X. T ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) )
20	16, 19	syl 17	. . . . . . 7 |- ( <. B , C >. e. dom { <. <. b , c >. , z >. | ( ( b e. S /\ c e. T ) /\ z = { <. d , e >. | ps } ) } -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) )
21		df-mpt2 6655	. . . . . . . 8 |- ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) = { <. <. b , c >. , z >. | ( ( b e. S /\ c e. T ) /\ z = { <. d , e >. | ps } ) }
22	21	dmeqi 5325	. . . . . . 7 |- dom ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) = dom { <. <. b , c >. , z >. | ( ( b e. S /\ c e. T ) /\ z = { <. d , e >. | ps } ) }
23	20, 22	eleq2s 2719	. . . . . 6 |- ( <. B , C >. e. dom ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) )
24	14, 23	syl6bi 243	. . . . 5 |- ( ( A e. U /\ ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. B , C >. e. dom ( O ` A ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) )
25	24	com23 86	. . . 4 |- ( ( A e. U /\ ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( <. B , C >. e. dom ( O ` A ) -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) )
26	25	a1d 25	. . 3 |- ( ( A e. U /\ ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V ) -> ( ( S e. X /\ T e. Y ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( <. B , C >. e. dom ( O ` A ) -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) ) )
27		ianor 509	. . . . 5 |- ( -. ( A e. U /\ ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V ) <-> ( -. A e. U \/ -. ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V ) )
28	2	fvmptndm 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A e. U -> ( O ` A ) = (/) )
29	28	dmeqd 5326	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. U -> dom ( O ` A ) = dom (/) )
30	29	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. U -> ( <. B , C >. e. dom ( O ` A ) <-> <. B , C >. e. dom (/) ) )
31		dm0 5339	. . . . . . . . . 10 |- dom (/) = (/)
32	31	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( <. B , C >. e. dom (/) <-> <. B , C >. e. (/) )
33	30, 32	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. U -> ( <. B , C >. e. dom ( O ` A ) <-> <. B , C >. e. (/) ) )
34		noel 3919	. . . . . . . . 9 |- -. <. B , C >. e. (/)
35	34	pm2.21i 116	. . . . . . . 8 |- ( <. B , C >. e. (/) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) )
36	33, 35	syl6bi 243	. . . . . . 7 |- ( -. A e. U -> ( <. B , C >. e. dom ( O ` A ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) )
37	36	a1d 25	. . . . . 6 |- ( -. A e. U -> ( ( S e. X /\ T e. Y ) -> ( <. B , C >. e. dom ( O ` A ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) ) )
38		notnotb 304	. . . . . . . 8 |- ( A e. U <-> -. -. A e. U )
39		elex 3212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. X -> S e. _V )
40		elex 3212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T e. Y -> T e. _V )
41	39, 40	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. X /\ T e. Y ) -> ( S e. _V /\ T e. _V ) )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. U /\ ( S e. X /\ T e. Y ) ) -> ( S e. _V /\ T e. _V ) )
43		mpt2exga 7246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. _V /\ T e. _V ) -> ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. U /\ ( S e. X /\ T e. Y ) ) -> ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V )
45	44	pm2.24d 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. U /\ ( S e. X /\ T e. Y ) ) -> ( -. ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V -> ( <. B , C >. e. dom ( O ` A ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) ) )
46	45	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( A e. U -> ( ( S e. X /\ T e. Y ) -> ( -. ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V -> ( <. B , C >. e. dom ( O ` A ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) ) ) )
47	46	com23 86	. . . . . . . 8 |- ( A e. U -> ( -. ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V -> ( ( S e. X /\ T e. Y ) -> ( <. B , C >. e. dom ( O ` A ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) ) ) )
48	38, 47	sylbir 225	. . . . . . 7 |- ( -. -. A e. U -> ( -. ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V -> ( ( S e. X /\ T e. Y ) -> ( <. B , C >. e. dom ( O ` A ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) ) ) )
49	48	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( -. -. A e. U /\ -. ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V ) -> ( ( S e. X /\ T e. Y ) -> ( <. B , C >. e. dom ( O ` A ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) ) )
50	37, 49	jaoi3 1011	. . . . 5 |- ( ( -. A e. U \/ -. ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V ) -> ( ( S e. X /\ T e. Y ) -> ( <. B , C >. e. dom ( O ` A ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) ) )
51	27, 50	sylbi 207	. . . 4 |- ( -. ( A e. U /\ ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V ) -> ( ( S e. X /\ T e. Y ) -> ( <. B , C >. e. dom ( O ` A ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) ) )
52	51	com34 91	. . 3 |- ( -. ( A e. U /\ ( b e. S , c e. T |-> { <. d , e >. | ps } ) e. _V ) -> ( ( S e. X /\ T e. Y ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( <. B , C >. e. dom ( O ` A ) -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) ) )
53	26, 52	pm2.61i 176	. 2 |- ( ( S e. X /\ T e. Y ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( <. B , C >. e. dom ( O ` A ) -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) ) )
54	1, 53	mpdi 45	1 |- ( ( S e. X /\ T e. Y ) -> ( D ( B ( O ` A ) C ) E -> ( A e. U /\ ( B e. S /\ C e. T ) /\ ( D e. _V /\ E e. _V ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   {coprab 6651   |-> cmpt2 6652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169

This theorem is referenced by:  wlkonprop  26554  wksonproplem  26601