Theorem elimaint 37940

Description: Element of image of intersection. (Contributed by RP, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elimaint	|- ( y e. ( |^| A " B ) <-> E. b e. B A. a e. A <. b , y >. e. a )

Distinct variable groups:   a, b, A   B, b   y, a, b

Allowed substitution hints:   A( y)   B( y, a)

Proof of Theorem elimaint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . 3 |- y e. _V
2	1	elima 5471	. 2 |- ( y e. ( |^| A " B ) <-> E. b e. B b |^| A y )
3		df-br 4654	. . . 4 |- ( b |^| A y <-> <. b , y >. e. |^| A )
4		opex 4932	. . . . 5 |- <. b , y >. e. _V
5	4	elint2 4482	. . . 4 |- ( <. b , y >. e. |^| A <-> A. a e. A <. b , y >. e. a )
6	3, 5	bitri 264	. . 3 |- ( b |^| A y <-> A. a e. A <. b , y >. e. a )
7	6	rexbii 3041	. 2 |- ( E. b e. B b |^| A y <-> E. b e. B A. a e. A <. b , y >. e. a )
8	2, 7	bitri 264	1 |- ( y e. ( |^| A " B ) <-> E. b e. B A. a e. A <. b , y >. e. a )

Syntax hints:   <-> wb 196   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   <.cop 4183   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   "cima 5117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127

This theorem is referenced by:  intimass  37946  intimag  37948