Theorem elnpi 9810

Description: Membership in positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elnpi	|- ( A e. P. <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem elnpi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. 2 |- ( A e. P. -> A e. _V )
2		simpl1 1064	. 2 |- ( ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) -> A e. _V )
3		psseq2 3695	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( (/) C. z <-> (/) C. A ) )
4		psseq1 3694	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( z C. Q. <-> A C. Q. ) )
5	3, 4	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) <-> ( (/) C. A /\ A C. Q. ) ) )
6		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( y e. z <-> y e. A ) )
7	6	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( ( y <Q x -> y e. z ) <-> ( y <Q x -> y e. A ) ) )
8	7	albidv 1849	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) <-> A. y ( y <Q x -> y e. A ) ) )
9		rexeq 3139	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( E. y e. z x <Q y <-> E. y e. A x <Q y ) )
10	8, 9	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) <-> ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )
11	10	raleqbi1dv 3146	. . . . 5 |- ( z = A -> ( A. x e. z ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) <-> A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )
12	5, 11	anbi12d 747	. . . 4 |- ( z = A -> ( ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) /\ A. x e. z ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) ) <-> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) ) )
13		df-np 9803	. . . 4 |- P. = { z | ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) /\ A. x e. z ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) ) }
14	12, 13	elab2g 3353	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A e. P. <-> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) ) )
15		id 22	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) -> ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) )
16	15	3expib 1268	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) -> ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) ) )
17		3simpc 1060	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) -> ( (/) C. A /\ A C. Q. ) )
18	16, 17	impbid1 215	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) <-> ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) ) )
19	18	anbi1d 741	. . 3 |- ( A e. _V -> ( ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) ) )
20	14, 19	bitrd 268	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. P. <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) ) )
21	1, 2, 20	pm5.21nii 368	1 |- ( A e. P. <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C. wpss 3575   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Q.cnq 9674   <Q cltq 9680   P.cnp 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-np 9803

This theorem is referenced by:  prn0  9811  prpssnq  9812  prcdnq  9815  prnmax  9817