Theorem elnp 9809

Description: Membership in positive reals. (Contributed by NM, 16-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elnp	|- ( A e. P. <-> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem elnp

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. 2 |- ( A e. P. -> A e. _V )
2		pssss 3702	. . . 4 |- ( A C. Q. -> A C_ Q. )
3		nqex 9745	. . . . 5 |- Q. e. _V
4	3	ssex 4802	. . . 4 |- ( A C_ Q. -> A e. _V )
5	2, 4	syl 17	. . 3 |- ( A C. Q. -> A e. _V )
6	5	ad2antlr 763	. 2 |- ( ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) -> A e. _V )
7		psseq2 3695	. . . . 5 |- ( z = A -> ( (/) C. z <-> (/) C. A ) )
8		psseq1 3694	. . . . 5 |- ( z = A -> ( z C. Q. <-> A C. Q. ) )
9	7, 8	anbi12d 747	. . . 4 |- ( z = A -> ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) <-> ( (/) C. A /\ A C. Q. ) ) )
10		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( y e. z <-> y e. A ) )
11	10	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( ( y <Q x -> y e. z ) <-> ( y <Q x -> y e. A ) ) )
12	11	albidv 1849	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) <-> A. y ( y <Q x -> y e. A ) ) )
13		rexeq 3139	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( E. y e. z x <Q y <-> E. y e. A x <Q y ) )
14	12, 13	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) <-> ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )
15	14	raleqbi1dv 3146	. . . 4 |- ( z = A -> ( A. x e. z ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) <-> A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )
16	9, 15	anbi12d 747	. . 3 |- ( z = A -> ( ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) /\ A. x e. z ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) ) <-> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) ) )
17		df-np 9803	. . 3 |- P. = { z | ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) /\ A. x e. z ( A. y ( y <Q x -> y e. z ) /\ E. y e. z x <Q y ) ) }
18	16, 17	elab2g 3353	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. P. <-> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) ) )
19	1, 6, 18	pm5.21nii 368	1 |- ( A e. P. <-> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y <Q x -> y e. A ) /\ E. y e. A x <Q y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Q.cnq 9674   <Q cltq 9680   P.cnp 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-om 7066  df-ni 9694  df-nq 9734  df-np 9803

This theorem is referenced by:  genpcl  9830  nqpr  9836  ltexprlem5  9862  reclem2pr  9870  suplem1pr  9874