Theorem elpwunsn 4224

Description: Membership in an extension of a power class. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elpwunsn	|- ( A e. ( ~P ( B u. { C } ) \ ~P B ) -> C e. A )

Proof of Theorem elpwunsn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3584	. 2 |- ( A e. ( ~P ( B u. { C } ) \ ~P B ) <-> ( A e. ~P ( B u. { C } ) /\ -. A e. ~P B ) )
2		elpwg 4166	. . . . . . 7 |- ( A e. ~P ( B u. { C } ) -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )
3		dfss3 3592	. . . . . . 7 |- ( A C_ B <-> A. x e. A x e. B )
4	2, 3	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( A e. ~P ( B u. { C } ) -> ( A e. ~P B <-> A. x e. A x e. B ) )
5	4	notbid 308	. . . . 5 |- ( A e. ~P ( B u. { C } ) -> ( -. A e. ~P B <-> -. A. x e. A x e. B ) )
6	5	biimpa 501	. . . 4 |- ( ( A e. ~P ( B u. { C } ) /\ -. A e. ~P B ) -> -. A. x e. A x e. B )
7		rexnal 2995	. . . 4 |- ( E. x e. A -. x e. B <-> -. A. x e. A x e. B )
8	6, 7	sylibr 224	. . 3 |- ( ( A e. ~P ( B u. { C } ) /\ -. A e. ~P B ) -> E. x e. A -. x e. B )
9		elpwi 4168	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ~P ( B u. { C } ) -> A C_ ( B u. { C } ) )
10		ssel 3597	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ ( B u. { C } ) -> ( x e. A -> x e. ( B u. { C } ) ) )
11		elun 3753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( B u. { C } ) <-> ( x e. B \/ x e. { C } ) )
12		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. { C } -> x = C )
13	12	orim2i 540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. B \/ x e. { C } ) -> ( x e. B \/ x = C ) )
14	13	ord 392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B \/ x e. { C } ) -> ( -. x e. B -> x = C ) )
15	11, 14	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( B u. { C } ) -> ( -. x e. B -> x = C ) )
16	15	imim2i 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A -> x e. ( B u. { C } ) ) -> ( x e. A -> ( -. x e. B -> x = C ) ) )
17	16	impd 447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A -> x e. ( B u. { C } ) ) -> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) -> x = C ) )
18	9, 10, 17	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ~P ( B u. { C } ) -> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) -> x = C ) )
19		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( x e. A <-> C e. A ) )
20	19	biimpd 219	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( x e. A -> C e. A ) )
21	18, 20	syl6 35	. . . . . . . 8 |- ( A e. ~P ( B u. { C } ) -> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) -> ( x e. A -> C e. A ) ) )
22	21	expd 452	. . . . . . 7 |- ( A e. ~P ( B u. { C } ) -> ( x e. A -> ( -. x e. B -> ( x e. A -> C e. A ) ) ) )
23	22	com4r 94	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( A e. ~P ( B u. { C } ) -> ( x e. A -> ( -. x e. B -> C e. A ) ) ) )
24	23	pm2.43b 55	. . . . 5 |- ( A e. ~P ( B u. { C } ) -> ( x e. A -> ( -. x e. B -> C e. A ) ) )
25	24	rexlimdv 3030	. . . 4 |- ( A e. ~P ( B u. { C } ) -> ( E. x e. A -. x e. B -> C e. A ) )
26	25	imp 445	. . 3 |- ( ( A e. ~P ( B u. { C } ) /\ E. x e. A -. x e. B ) -> C e. A )
27	8, 26	syldan 487	. 2 |- ( ( A e. ~P ( B u. { C } ) /\ -. A e. ~P B ) -> C e. A )
28	1, 27	sylbi 207	1 |- ( A e. ( ~P ( B u. { C } ) \ ~P B ) -> C e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160  df-sn 4178

This theorem is referenced by:  pwfilem  8260  incexclem  14568  ramub1lem1  15730  ptcmplem5  21860  onsucsuccmpi  32442