Theorem ptcmplem5 21860

Description: Lemma for ptcmp 21862. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcmp.1	|- S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
ptcmp.2	|- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
ptcmp.3	|- ( ph -> A e. V )
ptcmp.4	|- ( ph -> F : A --> Comp )
ptcmp.5	|- ( ph -> X e. (UFL i^i dom card ) )

Assertion

Ref	Expression
ptcmplem5	|- ( ph -> ( Xt_ ` F ) e. Comp )

Distinct variable groups:   k, n, u, w, A   S, k, n, u   ph, k, n, u   k, V, n, u, w   k, F, n, u, w   k, X, n, u, w

Allowed substitution hints:   ph( w)   S( w)

Proof of Theorem ptcmplem5

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3833	. . 3 |- (UFL i^i dom card ) C_ UFL
2		ptcmp.5	. . 3 |- ( ph -> X e. (UFL i^i dom card ) )
3	1, 2	sseldi 3601	. 2 |- ( ph -> X e. UFL )
4		ptcmp.1	. . . 4 |- S = ( k e. A , u e. ( F ` k ) |-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
5		ptcmp.2	. . . 4 |- X = X_ n e. A U. ( F ` n )
6		ptcmp.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
7		ptcmp.4	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> Comp )
8	4, 5, 6, 7, 2	ptcmplem1 21856	. . 3 |- ( ph -> ( X = U. ( ran S u. { X } ) /\ ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) ) ) )
9	8	simpld 475	. 2 |- ( ph -> X = U. ( ran S u. { X } ) )
10	8	simprd 479	. 2 |- ( ph -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` ( fi ` ( ran S u. { X } ) ) ) )
11		elpwi 4168	. . . . . 6 |- ( y e. ~P ran S -> y C_ ran S )
12	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> A e. V )
13	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> F : A --> Comp )
14	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> X e. (UFL i^i dom card ) )
15		simplrl 800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> y C_ ran S )
16		simplrr 801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> X = U. y )
17		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) -> -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z )
18		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = u -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " z ) = ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) )
19	18	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( z = u -> ( ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " z ) e. y <-> ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. y ) )
20	19	cbvrabv 3199	. . . . . . . . 9 |- { z e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " z ) e. y } = { u e. ( F ` k ) | ( `' ( w e. X |-> ( w ` k ) ) " u ) e. y }
21	4, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20	ptcmplem4 21859	. . . . . . . 8 |- -. ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z )
22		iman 440	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) <-> -. ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) )
23	21, 22	mpbir 221	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ ran S /\ X = U. y ) ) -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z )
24	23	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y C_ ran S ) -> ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) )
25	11, 24	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ~P ran S ) -> ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) )
26	25	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) /\ y e. ~P ran S ) -> ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) )
27		selpw 4165	. . . . . . 7 |- ( y e. ~P ( ran S u. { X } ) <-> y C_ ( ran S u. { X } ) )
28		eldif 3584	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ~P ( ran S u. { X } ) \ ~P ran S ) <-> ( y e. ~P ( ran S u. { X } ) /\ -. y e. ~P ran S ) )
29		elpwunsn 4224	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ~P ( ran S u. { X } ) \ ~P ran S ) -> X e. y )
30	28, 29	sylbir 225	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ~P ( ran S u. { X } ) /\ -. y e. ~P ran S ) -> X e. y )
31	27, 30	sylanbr 490	. . . . . 6 |- ( ( y C_ ( ran S u. { X } ) /\ -. y e. ~P ran S ) -> X e. y )
32	31	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) /\ -. y e. ~P ran S ) -> X e. y )
33		snssi 4339	. . . . . . . . 9 |- ( X e. y -> { X } C_ y )
34	33	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) /\ X e. y ) -> { X } C_ y )
35		snfi 8038	. . . . . . . . 9 |- { X } e. Fin
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) /\ X e. y ) -> { X } e. Fin )
37		elfpw 8268	. . . . . . . 8 |- ( { X } e. ( ~P y i^i Fin ) <-> ( { X } C_ y /\ { X } e. Fin ) )
38	34, 36, 37	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) /\ X e. y ) -> { X } e. ( ~P y i^i Fin ) )
39		unisng 4452	. . . . . . . . 9 |- ( X e. y -> U. { X } = X )
40	39	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( X e. y -> X = U. { X } )
41	40	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) /\ X e. y ) -> X = U. { X } )
42		unieq 4444	. . . . . . . . 9 |- ( z = { X } -> U. z = U. { X } )
43	42	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( z = { X } -> ( X = U. z <-> X = U. { X } ) )
44	43	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( { X } e. ( ~P y i^i Fin ) /\ X = U. { X } ) -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z )
45	38, 41, 44	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) /\ X e. y ) -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z )
46	45	a1d 25	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) /\ X e. y ) -> ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) )
47	32, 46	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) /\ -. y e. ~P ran S ) -> ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) )
48	26, 47	pm2.61dan 832	. . 3 |- ( ( ph /\ y C_ ( ran S u. { X } ) ) -> ( X = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z ) )
49	48	impr 649	. 2 |- ( ( ph /\ ( y C_ ( ran S u. { X } ) /\ X = U. y ) ) -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) X = U. z )
50	3, 9, 10, 49	alexsub 21849	1 |- ( ph -> ( Xt_ ` F ) e. Comp )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888   |-> cmpt2 6652   X_cixp 7908   Fincfn 7955   ficfi 8316   cardccrd 8761   topGenctg 16098   Xt_cpt 16099   Compccmp 21189  UFLcufl 21704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-wdom 8464  df-card 8765  df-acn 8768  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cmp 21190  df-fil 21650  df-ufil 21705  df-ufl 21706  df-flim 21743  df-fcls 21745

This theorem is referenced by:  ptcmpg  21861