Theorem onsucsuccmpi 32442

Description: The successor of a successor ordinal number is a compact topology, proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
onsucsuccmpi.1	|- A e. On

Assertion

Ref	Expression
onsucsuccmpi	|- suc suc A e. Comp

Proof of Theorem onsucsuccmpi

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsucsuccmpi.1	. . . 4 |- A e. On
2	1	onsuci 7038	. . 3 |- suc A e. On
3		onsuctop 32432	. . 3 |- ( suc A e. On -> suc suc A e. Top )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- suc suc A e. Top
5	1	onirri 5834	. . . . . . 7 |- -. A e. A
6	1, 1	onsucssi 7041	. . . . . . 7 |- ( A e. A <-> suc A C_ A )
7	5, 6	mtbi 312	. . . . . 6 |- -. suc A C_ A
8		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( suc A = U. y -> ( suc A C_ A <-> U. y C_ A ) )
9	7, 8	mtbii 316	. . . . 5 |- ( suc A = U. y -> -. U. y C_ A )
10		elpwi 4168	. . . . . . 7 |- ( y e. ~P suc A -> y C_ suc A )
11	10	unissd 4462	. . . . . 6 |- ( y e. ~P suc A -> U. y C_ U. suc A )
12	1	onunisuci 5841	. . . . . 6 |- U. suc A = A
13	11, 12	syl6sseq 3651	. . . . 5 |- ( y e. ~P suc A -> U. y C_ A )
14	9, 13	nsyl 135	. . . 4 |- ( suc A = U. y -> -. y e. ~P suc A )
15		eldif 3584	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ~P ( suc A u. { suc A } ) \ ~P suc A ) <-> ( y e. ~P ( suc A u. { suc A } ) /\ -. y e. ~P suc A ) )
16		elpwunsn 4224	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ~P ( suc A u. { suc A } ) \ ~P suc A ) -> suc A e. y )
17	15, 16	sylbir 225	. . . . . 6 |- ( ( y e. ~P ( suc A u. { suc A } ) /\ -. y e. ~P suc A ) -> suc A e. y )
18	17	ex 450	. . . . 5 |- ( y e. ~P ( suc A u. { suc A } ) -> ( -. y e. ~P suc A -> suc A e. y ) )
19		df-suc 5729	. . . . . 6 |- suc suc A = ( suc A u. { suc A } )
20	19	pweqi 4162	. . . . 5 |- ~P suc suc A = ~P ( suc A u. { suc A } )
21	18, 20	eleq2s 2719	. . . 4 |- ( y e. ~P suc suc A -> ( -. y e. ~P suc A -> suc A e. y ) )
22		snelpwi 4912	. . . . 5 |- ( suc A e. y -> { suc A } e. ~P y )
23		snfi 8038	. . . . . . . 8 |- { suc A } e. Fin
24	23	jctr 565	. . . . . . 7 |- ( { suc A } e. ~P y -> ( { suc A } e. ~P y /\ { suc A } e. Fin ) )
25		elin 3796	. . . . . . 7 |- ( { suc A } e. ( ~P y i^i Fin ) <-> ( { suc A } e. ~P y /\ { suc A } e. Fin ) )
26	24, 25	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( { suc A } e. ~P y -> { suc A } e. ( ~P y i^i Fin ) )
27	2	elexi 3213	. . . . . . . 8 |- suc A e. _V
28	27	unisn 4451	. . . . . . 7 |- U. { suc A } = suc A
29	28	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- suc A = U. { suc A }
30		unieq 4444	. . . . . . . 8 |- ( z = { suc A } -> U. z = U. { suc A } )
31	30	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( z = { suc A } -> ( suc A = U. z <-> suc A = U. { suc A } ) )
32	31	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( { suc A } e. ( ~P y i^i Fin ) /\ suc A = U. { suc A } ) -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) suc A = U. z )
33	26, 29, 32	sylancl 694	. . . . 5 |- ( { suc A } e. ~P y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) suc A = U. z )
34	22, 33	syl 17	. . . 4 |- ( suc A e. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) suc A = U. z )
35	14, 21, 34	syl56 36	. . 3 |- ( y e. ~P suc suc A -> ( suc A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) suc A = U. z ) )
36	35	rgen 2922	. 2 |- A. y e. ~P suc suc A ( suc A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) suc A = U. z )
37	2	onunisuci 5841	. . . 4 |- U. suc suc A = suc A
38	37	eqcomi 2631	. . 3 |- suc A = U. suc suc A
39	38	iscmp 21191	. 2 |- ( suc suc A e. Comp <-> ( suc suc A e. Top /\ A. y e. ~P suc suc A ( suc A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) suc A = U. z ) ) )
40	4, 36, 39	mpbir2an 955	1 |- suc suc A e. Comp

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fincfn 7955   Topctop 20698   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-en 7956  df-fin 7959  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-cmp 21190

This theorem is referenced by:  onsucsuccmp  32443