Theorem exfo 6377

Description: A relation equivalent to the existence of an onto mapping. The right-hand f is not necessarily a function. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
exfo	|- ( E. f f : A -onto-> B <-> E. f ( A. x e. A E! y e. B x f y /\ A. x e. B E. y e. A y f x ) )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   B, f, x, y

Proof of Theorem exfo

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo4 6375	. . . 4 |- ( f : A -onto-> B <-> ( f : A --> B /\ A. x e. B E. y e. A y f x ) )
2		dff4 6373	. . . . . 6 |- ( f : A --> B <-> ( f C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y e. B x f y ) )
3	2	simprbi 480	. . . . 5 |- ( f : A --> B -> A. x e. A E! y e. B x f y )
4	3	anim1i 592	. . . 4 |- ( ( f : A --> B /\ A. x e. B E. y e. A y f x ) -> ( A. x e. A E! y e. B x f y /\ A. x e. B E. y e. A y f x ) )
5	1, 4	sylbi 207	. . 3 |- ( f : A -onto-> B -> ( A. x e. A E! y e. B x f y /\ A. x e. B E. y e. A y f x ) )
6	5	eximi 1762	. 2 |- ( E. f f : A -onto-> B -> E. f ( A. x e. A E! y e. B x f y /\ A. x e. B E. y e. A y f x ) )
7		brinxp 5181	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x f y <-> x ( f i^i ( A X. B ) ) y ) )
8	7	reubidva 3125	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( E! y e. B x f y <-> E! y e. B x ( f i^i ( A X. B ) ) y ) )
9	8	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( E! y e. B x f y -> E! y e. B x ( f i^i ( A X. B ) ) y ) )
10	9	ralimia 2950	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A E! y e. B x f y -> A. x e. A E! y e. B x ( f i^i ( A X. B ) ) y )
11		inss2 3834	. . . . . . . . 9 |- ( f i^i ( A X. B ) ) C_ ( A X. B )
12	10, 11	jctil 560	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A E! y e. B x f y -> ( ( f i^i ( A X. B ) ) C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y e. B x ( f i^i ( A X. B ) ) y ) )
13		dff4 6373	. . . . . . . 8 |- ( ( f i^i ( A X. B ) ) : A --> B <-> ( ( f i^i ( A X. B ) ) C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y e. B x ( f i^i ( A X. B ) ) y ) )
14	12, 13	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A E! y e. B x f y -> ( f i^i ( A X. B ) ) : A --> B )
15		rninxp 5573	. . . . . . . 8 |- ( ran ( f i^i ( A X. B ) ) = B <-> A. x e. B E. y e. A y f x )
16	15	biimpri 218	. . . . . . 7 |- ( A. x e. B E. y e. A y f x -> ran ( f i^i ( A X. B ) ) = B )
17	14, 16	anim12i 590	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A E! y e. B x f y /\ A. x e. B E. y e. A y f x ) -> ( ( f i^i ( A X. B ) ) : A --> B /\ ran ( f i^i ( A X. B ) ) = B ) )
18		dffo2 6119	. . . . . 6 |- ( ( f i^i ( A X. B ) ) : A -onto-> B <-> ( ( f i^i ( A X. B ) ) : A --> B /\ ran ( f i^i ( A X. B ) ) = B ) )
19	17, 18	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A E! y e. B x f y /\ A. x e. B E. y e. A y f x ) -> ( f i^i ( A X. B ) ) : A -onto-> B )
20		vex 3203	. . . . . . 7 |- f e. _V
21	20	inex1 4799	. . . . . 6 |- ( f i^i ( A X. B ) ) e. _V
22		foeq1 6111	. . . . . 6 |- ( g = ( f i^i ( A X. B ) ) -> ( g : A -onto-> B <-> ( f i^i ( A X. B ) ) : A -onto-> B ) )
23	21, 22	spcev 3300	. . . . 5 |- ( ( f i^i ( A X. B ) ) : A -onto-> B -> E. g g : A -onto-> B )
24	19, 23	syl 17	. . . 4 |- ( ( A. x e. A E! y e. B x f y /\ A. x e. B E. y e. A y f x ) -> E. g g : A -onto-> B )
25	24	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. f ( A. x e. A E! y e. B x f y /\ A. x e. B E. y e. A y f x ) -> E. g g : A -onto-> B )
26		foeq1 6111	. . . 4 |- ( g = f -> ( g : A -onto-> B <-> f : A -onto-> B ) )
27	26	cbvexv 2275	. . 3 |- ( E. g g : A -onto-> B <-> E. f f : A -onto-> B )
28	25, 27	sylib 208	. 2 |- ( E. f ( A. x e. A E! y e. B x f y /\ A. x e. B E. y e. A y f x ) -> E. f f : A -onto-> B )
29	6, 28	impbii 199	1 |- ( E. f f : A -onto-> B <-> E. f ( A. x e. A E! y e. B x f y /\ A. x e. B E. y e. A y f x ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ran crn 5115   -->wf 5884   -onto->wfo 5886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896

This theorem is referenced by: (None)