Theorem dffo4 6375

Description: Alternate definition of an onto mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dffo4	|- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dffo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo2 6119	. . 3 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ ran F = B ) )
2		simpl 473	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) -> F : A --> B )
3		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
4	3	elrn 5366	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ran F <-> E. x x F y )
5		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( ran F = B -> ( y e. ran F <-> y e. B ) )
6	4, 5	syl5bbr 274	. . . . . . . 8 |- ( ran F = B -> ( E. x x F y <-> y e. B ) )
7	6	biimpar 502	. . . . . . 7 |- ( ( ran F = B /\ y e. B ) -> E. x x F y )
8	7	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) /\ y e. B ) -> E. x x F y )
9		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
10		fnbr 5993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ x F y ) -> x e. A )
11	10	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> ( x F y -> x e. A ) )
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> x e. A ) )
13	12	ancrd 577	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> ( x e. A /\ x F y ) ) )
14	13	eximdv 1846	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x ( x e. A /\ x F y ) ) )
15		df-rex 2918	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
16	14, 15	syl6ibr 242	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x e. A x F y ) )
17	16	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) /\ y e. B ) -> ( E. x x F y -> E. x e. A x F y ) )
18	8, 17	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) /\ y e. B ) -> E. x e. A x F y )
19	18	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) -> A. y e. B E. x e. A x F y )
20	2, 19	jca 554	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
21	1, 20	sylbi 207	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
22		fnbrfvb 6236	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
23	22	biimprd 238	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( x F y -> ( F ` x ) = y ) )
24		eqcom 2629	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = y <-> y = ( F ` x ) )
25	23, 24	syl6ib 241	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( x F y -> y = ( F ` x ) ) )
26	9, 25	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( x F y -> y = ( F ` x ) ) )
27	26	reximdva 3017	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( E. x e. A x F y -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
28	27	ralimdv 2963	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( A. y e. B E. x e. A x F y -> A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
29	28	imdistani 726	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
30		dffo3 6374	. . 3 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
31	29, 30	sylibr 224	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) -> F : A -onto-> B )
32	21, 31	impbii 199	1 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  dffo5  6376  exfo  6377  brdom3  9350  phpreu  33393  poimirlem26  33435