Theorem dffo5 6376

Description: Alternate definition of an onto mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dffo5	|- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dffo5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo4 6375	. 2 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
2		rexex 3002	. . . . 5 |- ( E. x e. A x F y -> E. x x F y )
3	2	ralimi 2952	. . . 4 |- ( A. y e. B E. x e. A x F y -> A. y e. B E. x x F y )
4	3	anim2i 593	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )
5		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
6		fnbr 5993	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn A /\ x F y ) -> x e. A )
7	6	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn A -> ( x F y -> x e. A ) )
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> x e. A ) )
9	8	ancrd 577	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> ( x e. A /\ x F y ) ) )
10	9	eximdv 1846	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x ( x e. A /\ x F y ) ) )
11		df-rex 2918	. . . . . 6 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
12	10, 11	syl6ibr 242	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x e. A x F y ) )
13	12	ralimdv 2963	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( A. y e. B E. x x F y -> A. y e. B E. x e. A x F y ) )
14	13	imdistani 726	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
15	4, 14	impbii 199	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )
16	1, 15	bitri 264	1 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896

This theorem is referenced by: (None)